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Hi ich muss die Folgende Ungleichung zeigen wahrscheinlich irgendwie mit dem geometrischen Mittel

für x > -1/6

√(1+6x)  ≤ (1+x)3

Wie kann ich das machen??? 


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Es soll bestimmt so heißen
√ ( 1+6x )  ≤ (1+x)3

dann gilt schon einmal
1 + 6x > 0 ( sonst kein Wurzelziehen möglich
6x > -1
x > - 1/6

Ich glaube du hast da falsch geschrieben, x muss >= -1/6 sein. Du hast x>-1/6 geschrieben, also Antwort gilt nicht.

Mit deinem Hinweis hast du recht.

Wenn du dir ganze Diskussion aber anschaust ist dieser Aspekt
eher nebensächlich.

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$$ \sqrt{1+6x}  ≤ (1+x)^3  $$
$$ 1+6x ≤ (1+x)^6  $$
$$ 1+6x \le x^6+6 x^5+15 x^4+20 x^3+15 x^2+6 x+1 $$
Prüfe auf Nulldurchgänge, um festzustellen, für welche x die Funktion negativ wird:$$ x^6+6 x^5+15 x^4+20 x^3+15 x^2 =0 $$
$$ x^2(x^4+6 x^3+15 x^2+20 x+15) =0$$
kann dieser Faktor weitere reelle Nullstellen besitzen ?
$$ x^4+6 x^3+15 x^2+20 x+15 =0$$
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Das frage ich mich auch !
Im Moment wüßte ich nicht ob ein negatives x die Gleichung
doch erfüllen könnte.

Teste einfach das noch zulässige -1/6

Das ist noch nicht unbedingt wasserdicht, aber das zeigt schon wo man liegt.

Ich kann mir auch die Funktion
√( 1+6x ) und
( 1+x )3

von einem Funktionsplotter zeichnen lassen, dann
" sehe " ich sogar das die Wurzelfunktion unterhalb der hoch 3
Funktion ist.

Ich hätte aber gern den rechnerischen Beweis.
Mir ist dieser bisher noch nicht gelungen.

Ausgehend von f(x)=(x+1)^6 kann man ja sagen, dass diese Funktion nie negativ wird.Die "einzige", allerdings sechsfache Nullstelle liegt bei x=-1. rechts von dieser Nullstelle ist die Funktion stetig steigend.

Davon subtrahiert wird die Geradengleichung g(x)=6x+1, die jedoch stets kleiner als f(x) ist und somit die Differenzfunktion h(x)=f(x)-g(x) niemals ins Negative bringen kann.

Für negative x erzeugt die Geradengleichung einen negativen Wert, der subtrahiert die Differenzfunktion positiver macht. Also trotz sinkender f-Werte steigt h im bereich negativer x, wodurch eine weitere Nullstelle ausgeschlossen wird. Hier genügt es auch nur den Bereich bis zur Nullstelle von f zu betrachten - das ist schon mehr als der Definitionsbereich der ursprünglichen Aufgabenstellung erlaubt.


Damit wäre Cardano umschifft ...

@georgborn: Es geht also nur noch darum, zu zeigen, dass \(x^4+6x^3+15x^2+20x+15=0\) keine Lösung besitzt (in \(\mathbb{R}\))?
Du kannst einfach die Funktion \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^4+6x^3+15x^2+20x+15\) auf lokale Extrema überprüfen. Wegen \(\lim_{x\to\infty}=\lim_{x\to -\infty}=\infty\) kannst du damit dann erkennen, ob die Funktion irgendwo negativ ist oder nicht.

Die Ableitung von dem Monster ist leider noch immer Cardano-pflichtig. An die Extremumuntersuchung hab ich auch schon gedacht, aber erst der Wendepunkt lässt sich schulmathemathisch in den Griff bekommen.

Nö, das ist ganz einfach: Eine Nullstelle der Ableitung kann man erraten; dass es keine weiteren Nullstellen geben kann, folgt daraus, dass die erste Ableitung streng monoton wachsend ist (was man mit der Positivität der zweiten Ableitung begründen kann).
Nix mit Cardano.

Die Nullstelle der Ableitung ist irrational und daher nicht erratbar.

Wenn ich jetzt nicht ganz doof bin, komme ich auf die Ableitung \(f'(x)=4x^3+18x^2+30x+20.\) Und es gilt: \(f'(-2)=4\cdot (-8)+18\cdot 4+30\cdot (-2)+20=-32+72-60+20=0\).
Oder ist neuerdings \(-2\not\in\mathbb{Q}\) ? ;-)

Dann hab ich mich vorhin wohl vertippt ....

@10001000nick1
Ich greife deine Beiträge auf.
Es geht darum zu zeigen

x^4 + 6x^3 + 15x^2 + 20x + 15 ≥ 0

Für lim x -> -∞ und lim x -> ∞ wird der Funktionswert +∞.
Die Funktion ist stetig.

Wenn jetzt gezeigt würde das die Funktionswerte
der Extremstellen alle > 0 sind wäre damit
der Beweis schon erbracht.

4*x^3 + 18x^2 + 30x + 20  = 0
Durch erraten ergibt sich zunächst x =-2
Weitere Nullstellen gibt es nicht.
( Dies wäre auch durch eine weitere Polynomdivision
feststellbar )

In die 1.Gleichung eingesetzt ergibt sich für x = -2
ein Funktionswert von 3. Also postiv. Die ganze
Funktion ist also stets positiv. Stimmt alles ?






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