Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass gilt: 6 teilt 7^n-1

Question

folgende Aufgabe liegt vor mir:

"Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass gilt: ∀n>=1: 6 teilt 7^n - 1"

Mein Ansatz:

Induktionsanfang:

zz: gilt für kleinstes n

n sei 1

6/(7^1)-1 = 6/6 = 1  ✓

Induktionshypothese:

6/(7^n+1)-1 = 6/(7^1+1)-1 = 6/7^2-1 = 6/14-1 = 6/13

Irgendwie kann das ja nicht stimmen.

G

Comments

Wenn nicht vorgegeben wäre, dass man die Aufgabe mit Induktion lösen soll, würde es übrigens viel schneller gehen, wenn man bemerkt, dass \(7\equiv 1 \mod 6\). Daraus folgt dann, dass \(7^n-1\equiv 1^n-1\equiv 1-1\equiv 0\mod 6\).

Answer 1

es muss auch

(7^n-1)/6 heißen.

Und für (7^2-1)/6 = (49-1)/6 = 48/6 = 8 passt das doch^^.

Grüße

Comments

Habe ich das jetzt schon gezeigt? Ich bin mir gerade nicht sicher, ob das wirklich die "vollständige" Induktion ist.

---

Nein, das wäre nur ein weiterer Induktionsanfang gewesen, wo Du zeigtest, dass das auch für n = 2 gilt.

Ich würde da so rangehen (IA sei voraussgesetzt)

7ⁿ - 1 = 6m

Induktionsschritt:

A(n+1): 7^{n+1} - 1 = 6k

Also, wir erhöhen n um 1 und das soll weiterhin durch 6 teilbar sein (deswegen 6k).

7^{n+1} - 1 = 7*7^n - 1 = 7*7^n - 7^n + 7^n - 1 = 6*7^n + 7^n - 1 = 6*7^n + 6m = 6(7^n + m) = 6k

Also folglich ist auch hier das ganze durch 6 teilbar und die Induktion abgeschlossen ;). Trick war hier eigentlich ein 7^n - 7^n einzufügen, damit man die Induktionsannahme (orange) verwenden kann.

Alright?

---

Warum 6m und warum 6k? Und warum sind die unterschiedlich?
Die Zeile darunter versteh ich überhaupt nicht ...

---

m und k sind beliebige Faktoren. m und k unterscheiden sich, deswegen habe ich die natürlich unterschiedlich benannt. Kann man auch weglassen und ohne die Arbeiten, wenns Dich verwirrt.

Die Folgezeile solltest Du Dir aber nochmals anschauen. Die ist wichtig udn so einfach wie möglich gehalten. Das macht eigentlich die Induktion aus. Wenn Du iwo hängst gib spezifisch die Stelle an ;).

---

@Unknown: Ist der Trick nicht ein wenig übertrieben? Schließlich ist

6 | 7^{n+1} - 1 = 7*7^n - 1 = 6*7^n + 7^n - 1.

---

Stimmt, unterscheidet sich aber nicht großartig. Wenn man damit keine Probleme hat das auseinanderzureißen^^. Ansonsten mit dem Zwischenschritt von mir (wobei man da auch erst draufkommen muss :P) ;).

---

Okay, warum "7*7ⁿ - 1"? Wo kommt die zusätzliche 7 her, warum ist die 1 im Exponenten verschwunden?

---

Potenzgesetz ;). a^{b+c} = a^b * a^c

---

Dann müsste es doch (7*7)^{n+2}-1 lauten? Und wo kommt die 7 jetzt her?

---

Huch nein, wie kommst Du da drauf?

7^{n+1} = 7^n * 7^1 = 7^n * 7

a^{b+c} = a^b * a^c = a^b * a^c

So klar? :)

---

Achso, ja, klar. :)

Okay, nächste Zeile.

Warum "- 7ⁿ + 7ⁿ"? Das löst sich doch sofort wieder auf?

---

Das ist richtig. Ich habe also eine 0 eingefügt, andernfalls hätte ich ja die Aussage verändert!

Das hat nun den Vorteil, dass Du -7^n mit den 7*7^n verrechnen kannst. Dann bleiben 6*7^n übrig. (das ist durch 6 teilbar, offensichtlich). Zudem bleibt dann noch übrig: +7^n-1, da wissen wir ebenfalls, dass das durch 6 teilbar ist.

Wie hh916 vorgeschlagen hat, kann man das auch direkt über: 7*7^n = 6*7^n + 7^n machen, also die 7 als Summe von 6+1 zu schreiben ;).

---

Okay, danke für die Geduld.

Noch eine Frage unabhängig von dieser Aufgabe:

Wie löse ich 1/8 = e^-5b nach b auf?

---

Neue Fragen bitte immer extra ;).

Aber das geht schnell.

1/8 = e^{-5b} = 1/e^{5b}   |Kehrbruch

8 = e^{5b}                           |ln

ln(8) = 5b

b = ln(8)/5

Dazu musst Du eigentlich nur wissen: a^{-n} = 1/a^n. Das mim Kehrbruch ist klar? ;)

---

Das war nicht ernst gemeint, oder? :)

Alles klar, danke.

---

Welchen Teil?

Ansonsten: Gerne^^.

---

Das "Neue Fragen bitte immer extra". :)

---

Aso. Eigentlich schon^^. Es hilft dem Folgeleser, er unter "Suchen" nach der Aufgabe sucht und dann erst alle Kommentare durcharbeitet :P. Gut, das war ein Einzeiler, da geht das dann schon mal^^.