Wie beweise ich die Linearität der Abbildungen von Vektorraum V= R^{2.2} → R?

Question

Es sei \( V=\mathbb{R}^{2,2} \), d.h. der Vektorraum aller Matrizen der Form \( A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \). Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen \( V \rightarrow \mathbb{R} \) auf Linearität:

a) \( \varphi(A)=\operatorname{det}(A) \)

b) \( \varphi(A)=a+2 b-c+d \)

c) \( \varphi(A)=\operatorname{Spur}(A) \), wobei die Spur der Matrix \( A \) definiert ist als Summe der Diagonalelemente, hi also \( \operatorname{Spur}(A)=a+d \).

d) \( \varphi(A)=(a-d)(b-c) \)

Ich komme leider auf keinen Ansatz, wie ich die Linearität der folgenden Aufgaben beweisen soll.

Comments

Schlage in deinem Skript die definierenden Eigenschaften von Linearität nach. Und kontrolliere sie bei den gegebenen Beispielen.

Du müsstest z.B. untersuchen, ob det( A + B) = det( A) + det(B) und det(kA) = k*det(A) für k ∈ℝ.

Answer 1

zum Beispiel bei c) sähe das so aus

Sei A1 die Matrix mit den Elementen a1,b1,c1,d1 und A2 entsprechend.

Dann musst du zeigen (wie es aauch in dem Hinweis mit der Det. steht)

spur(A1+A2) = (a1+a2) + (c1+c2)

   [denn die Summenmatrix hat ja oben links das Element a1+a2
und unten rechts c1+c2 und die beiden muss man ja für die Spur addieren.

etwas umgeordnet
 (für ganz Pingelige: Assziativität und Kommutativität in R,+)
hast du dann
                      =  (a1+c1)  +  (a2+c2)
           
                       = spur(A1) + spur(A2)

Die 2. Eigenschaft der Linearität    spur(x*A1) = x*spur(A1) mit x aus IR
siehst du so ein:

spur(x*A1) =    xa1+xc1  =  x (a1+c1)  [Distr.]   
                                           = x*spur(A1)
                                                     
beide Eigenschaft erfüllt, also linear. q.e.d.