Determinante als Funktion darstellen

Question

Verständnisfrage:

Wenn in der Aufgabenstellung steht: n ∈ ℕ, A ∈ M_n (ℝ) mit A_i,i = 2 für alle i ∈ {1,...,n} und A_i,j = 1 für alle {1,...,n} mit i≠j, dann heißt das für mich folgendes:

z.B. für n=3:

$\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$

Verstehe ich das richtig?

Frage :

In der Aufgabenstellung ist folgendes geschrieben: "Berechnen Sie det(A) (als Funktion von n)."

Was genau ist damit gemeint?

Comments

Ja das hast du richtig verstanden. Du sollst jetzt die det(A) berechnen aber eine Formel finden die Allgemein gilt, egal wie groß die Matrix ist.

---

Und ist irgendwas bestimmtes mit dem Ausdruck "als Funktion von n" gemeint ?

---

Du solltest auf eine Formel kommen die irgendwie die Größe der Matrix, als n berücksichtigt. Wenn du zum Beispiel eine Matrix hast die nur 4 auf der Diagonale hat und sonst überall 0 ist, dann ist die Determinante der Größe n: det(A(n))=4ⁿ.

Jetzt kann man für jede beliebige Größe die Determinante ausrechnen mit Hilfe der Formel.
n=1 det(A(1))=4¹=4

n=2 det(A(2))=4²=16 und so weiter ;)

Answer 1

Also den ersten Teil verstehst du richtig.

Und jetzt sollst du die Determinante beliebig größer Matrizen bestimmen. Also wenn ich sage n = 27 soll dein Ausdruck angeben wie groß die Determinante ist.

Da ist es günstig für die ersten zwei oder drei Matrizen sich eine Determinante auszurechnen und dann zu schauen ob man das rechnerisch schön zeigen kann.

Man kann hier eventuell vermuten das det(A) = n + 1 ist.

Comments

Habe das jetzt für n=1 bis n=6 mal durchgerechnet.

n=1 -> det(A)=2

n=2 -> det(A)=3

n=3 -> det(A)=4

.

.

.

n=6 -> det(A)=7

Offensichtlich erhöht sich die Determinante jedes mal um ein 1, wenn ich auch das n um 1 erhöhe.

Daher denke ich: det(A)=n+1

Richtig ?

---

Richtig. Aber das langt nicht das du es für die ersten paar Matrizen zeigst. Du sollst es für alle n begründen können. Eventuell durch vollständige Induktion.

---

Uff...Induktion.

Hab's gemacht und hänge irgendwie im Induktionsschritt fest. Habe mir die Entwicklungsformel zur Hand genommen, aber nachdem ich die Induktionsvoraussetzung angewendet habe, geht nicht ganz weiter:

I.A. $n=1$
$\operatorname{det}(A)=\sum \limits_{i=1}^{l}(-1)^{l+1} a_{1,1} \quad \operatorname{det}\left(A_{l, l}\right)=2$
(s. Voraussetzung Aufgabe)
Die Behauptung gilt für beliebiges, aber festes $n \in N$.

I.S.
$\begin{aligned} \operatorname{det}(A) &=\sum \limits_{i=1}^{n+1}(-1)^{i+j} a_{i, j} \operatorname{det}\left(A_{i, j}\right)+\sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i, j} \operatorname{det}\left(A_{i, j}\right) \\ &=\sum \limits_{i=1}^{n+1}(-1)^{i+j} a_{i, j} \operatorname{det}\left(A_{i, j}\right)+(n+1) \\ &=? \end{aligned}$