formelisiert könnte das doch so heißen:
für n=1 hat man einen Kreis und das Gebiet außerhalb des Kreises.
Also mit 2 Farben ok.
Sei die Aussage für n Kreise immer wahr.
[Dann ist zu zeigen, dass sie auch für n+1 Kreise gilt. ]
Seien nun n+1 Kreise gegeben, so wähle einen davon aus und
nimm ihn weg.
Für die Figur mit den restlichen n Kreises wird die Färbung.
durchgeführt, was nach Induktionsannahme möglich ist.
Dann wird alles, was im inneren des nicht beachteten Kreises
lag umgefärbt (negiert, s. Kommentar).
Da im Inneren die Färbung vorher korrekt war, ist sie es
auch nachher (also keine gleichgefärbten Nachbarn)
ebenso außen keine gleichgefärbten Nachbarn, da es
vorher korrekt war und alles gleich geblieben ist.
Die durch den n+1 Kreis entstandenen neuen Gebiete
sind aus einem alten Gebiet dadurch entstanden, dass
sie durch den n+1 -ten Kreis in zwei Gebiete zerlegt worden
sind, eines im Inneren und eines im Äußeren des n+1 -ten
Kreises. Also ist ein Teil umgefärbt worden und der
andere Teil nicht, also sind auch dort keine gleichgefärbten
Nachbarn entstanden.
Also ist so die Figur mit den n+1 Kreisen korrekt färbbar.
