G endliche Gruppe. Beweise: Für alle g Element G existiert ein n Element N={1,2,...} mit g^n = e

Question

Aufgabe:

Es sei \( G \) eine endliche Gruppe mit neutralem Element \( e . \) Zeigen Sie:
(i) Für alle \( g \in G \) gibt es ein \( n \in \mathbb{Z} \geq 1 \) mit
$$ g^{n}=e $$
Wir nennen die kleinste natürliche Zahl \( n_{0} \in \mathbb{Z}_{\geq 1} \) mit \( g^{n_{0}}=e \) die Ordnung von \( g \) und schreiben
$$ n_{0}=\operatorname{ord}(g) $$
(ii) Ist \( g \in G \) und \( k \in \mathbb{Z}_{\geq 1} \) eine Zahl mit \( g^{k}=e, \) so wird \( k \) von ord \( (g) \) geteilt.
(iii) Zu je zwei Elementen \( g, h \in G \) gibt es \( m, n \in \mathbb{Z}_{\geq 1} \) mit \( g^{m}=h^{n} \)

(Hinweis: Sie können für Teil (ii) die aus der Schule bekannte Division mit Rest benutzen: Für alle \( a, b \in \mathbb{Z} \) existieren \( q, r \in \mathbb{Z} \) mit \( q=a \cdot b+r \) und \( 0 \leq r<|b|, \) wobei \( | \) | die Betragsfunktion bezeichne.)

Hi,
ich habe gerade mein Studium an der TU in Kaiserslautern begonnen und habe starke Startschwierigkeiten. Im Prinzip ist das normal, nur finde ich meine im Vergleich zu anderen höher.

Diese Aufgabe ist ein Aufgabenblatt zu den Algebraischen Strukturen. Die Aufgabe 2 und 3 habe ich noch halbwegs hinbekommen, jedoch scheiter ich bei der Aufgabe 1.
n₀ ist die Ordnung von g. Bedeutet das also, dass n₀ die Anzahl der Elemente der Untergruppe g ist?

Ausgeschrieben bedeutet gⁿ ja, dass g n-mal mit sich selbst verknüpft wird. Nur weiß ich nichts damit anzufangen. Wenn ich das inverse Element zu g nehme und es mit g verknüpfe, erhalte ich das neutrale Element e. Die drei Gruppenaxiome gelten ja.
Wäre nett, wenn mir jemand vielleicht einfach mal erklären könnte, wie du Aufgabenstellung zu verstehen ist und ob bis jetzt alles stimmt, so wie ich es gesagt habe:)

Das Internet hat mir bis jetzt noch nicht so stark weiterhelfen können, zumindest nicht so, dass ich es verstehe.

Answer 1

Hallo,

also zunächst stellst du fest, dass \( gg \neq g \) ist, da sonst wegen \( ggg^{-1} = gg^{-1} \) folgt, dass \( g = e \). Also hast du den einfachen Fall \( g = e \) schonmal abgehakt.

Nun sei \( gg = a_1 \) und wir stellen fest, dass \( a_1 \neq g \) ist, da sonst wieder \( g = e \) wäre.

Jetzt sei \( ggg = a_2 \) und es ist festzustellen, dass \( a_1 \neq a_2 \), da sonst erneut folgen würde \( g = e \).

Auf diese Arte und Weise können höchstens \( n-1 \) paarweise verschiedene \( a_i \) gefunden werden, da \( n \) die Anzahl der Elemente von \( G \) ist.

Wäre eines dieser \( a_i = g \), so wäre wegen \( g^{i+1} = a_{i} = g \) die Aussage \( g^i = e \) richtig und der Beweis wäre vollbracht.

Nehmen wir also an, dass \( a_1, a_2, \dots, a_{n-1} \) ungleich \( g \) sind und paarweise verschieden. Dann muss eines dieser \( a_i \) das neutrale Element \( e \) sein.

Mister

PS: Zu Aussage (ii) kannst du "Satz von Lagrange" googeln (z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange ), was dir vielleicht ein wenig weiterhilft.

Comments

Danke für die Antwort:)

Mir war zunächst nicht klar, was du damit meinst. Jetzt verstehe ich alles bis auf "Nehmen wir also an, dass...Element e sein." Wenn eins dieser a_i =g wäre, würde daraus ja folgen, dass g=e ist oder?

Letztendlich verstehe ich trotzdem nicht, weswegen das jetzt ein Beweis dafür ist, dass es für alle g ein n Element der natürlichen Zahlen gibt mit gⁿ =e?:(
Ich verstehe den Zusammenhang davon nicht.
Wenn g=e wäre, dann wäre ja auch klar, weswegen gⁿ immer gleich e wäre. Das ist denk ich mal der Grund weswegen du gezeigt hast, dass g ungleich e ist?

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Bitte.

Es ist eine Art Fallunterscheidung, für \( g = e \) ist trivialerweise \( n = 1 \) (\(g^n = e \)). Deswegen habe ich gewissermaßen "ohne Einschränkung" angenommen, dass \( g \neq e \) ist.

Wenn jetzt die Gruppe \( G \) mit \( n \) Elementen ausgestattet ist und \( n-1 \) (paarweise verschiedene) Elemente \( a_i \) davon ungleich \( g \) sind, dann muss eines dieser \( n-1 \) Elemente das neutrale Element sein.

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Allgemeiner lautet die Aussage einfach: Irgendwann, spätestens nach \( n-1 \) Schritten, wird gemäß \( g^i = e \) mit \( 1 \leq i \leq n-1 \) durch die \(i\)-te Potenz von \( g \) auf das neutrale Element \( e \) abgebildet.

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Danke, hoffe ich habe es nun ansatzweise richtig verstanden. Morgen sehe ich es!:)

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Bitte, viel Glück dabei.

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Hi :)

Ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe und habe den Beweis bis auf einen Schritt verstanden. Der Schritt, den ich nicht verstehe, ist der folgende:

Wäre eines dieser \( a_i = g \), so wäre wegen \( g^{i+1} = a_{i} = g \) die Aussage \( g^i = e \) richtig und der Beweis wäre vollbracht.

Also das Problem ist, dass ich nicht verstehe, warum wegen gⁱ = g folgt, dass gⁱ⁺¹= gⁱ, würde nicht gelten gⁱ⁺¹ = gⁱ g = g² .

Vielleicht verwirrt mich auch nur die Schreibweise mit dem a_i.

Answer 2

G ist endlich und hat, sagen wir, m Elemente. Dann betrachte die Menge

{g,g^2,g^3,...,g^{m+1}}

Diese Menge ist Teilmenge von G, kann also nicht m+1 verschiedene Elemente enthalten. Also gibt es j < k, so dass:

g^j = g^k

...

Comments

Hi, erst mal danke für die Antwort:)

Also ich verstehe, dass eine Teilmenge entweder gleich viel oder weniger Elemente als die Gruppe selbst enthalten muss.
Wieso lautet die letzte Potenz m+1 und nicht m bei m Elementen in einer Gruppe. Im Prinzip ist es ja egal, wie man sie nennt, nur ich schätze, es dient einem Zweck weswegen du m+1 genommen hast?
Wenn ich deine letzte Gleichung so schreibe, ergibt sie dann Sinn?

g^j=e=g^k

Das ist ja quasi die Aussage, dass es für alle g ein n Element der natürlichen Zahlen gibt, sodass gⁿ=e ist oder?