Hallo,
also zunächst stellst du fest, dass gg=g ist, da sonst wegen ggg−1=gg−1 folgt, dass g=e. Also hast du den einfachen Fall g=e schonmal abgehakt.
Nun sei gg=a1 und wir stellen fest, dass a1=g ist, da sonst wieder g=e wäre.
Jetzt sei ggg=a2 und es ist festzustellen, dass a1=a2, da sonst erneut folgen würde g=e.
Auf diese Arte und Weise können höchstens n−1 paarweise verschiedene ai gefunden werden, da n die Anzahl der Elemente von G ist.
Wäre eines dieser ai=g, so wäre wegen gi+1=ai=g die Aussage gi=e richtig und der Beweis wäre vollbracht.
Nehmen wir also an, dass a1,a2,…,an−1 ungleich g sind und paarweise verschieden. Dann muss eines dieser ai das neutrale Element e sein.
Mister
PS: Zu Aussage (ii) kannst du "Satz von Lagrange" googeln (z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange ), was dir vielleicht ein wenig weiterhilft.