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 Sind R1, R2 Ringe, so sei auf R = R1×R2 die komponentenweise Addition und Multiplikation

erklärt:

(a1, a2) + (b1, b2) := (a1 + b1, a2 + b2),        (a1, a2) · (b1, b2) := (a1 · b1, a2 · b2).

Zeigen Sie: R ist ein Ring. R ist genau dann kommutativ, wenn R1 und R2 kommutativ sind.

R ist unitär, wenn R1 und R2 unitär sind.

von

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Fang doch einfach mal an:
beide ringe kommutativ   und  (a1, a2) und (b1, b2) aus R
dann folgt (a1, a2) * (b1, b2)
              =        (a1 * b1, a* b2).
                =       ( b1 * a1, b* a2).
              =    (b1, b2) * (a1, a2)
umgekehrt  R kommutativ folgt beide kommutativ geht fast genauso.

unitär:   beide haben 1-Element
dann ist  (1;1) das 1-Element von R
umgekehrt:
R hat 1-Element (a,b)   dann gilt für alle (x;y) aus R
                  (x;y) * (a;b) = (x;y)
                 ( x*a ; y*b )  =  (x;y)
also   x*a=x und y*b=y für alle x aus R1 und y aus R2
also a und b Einselmente von R1 bzw. R2
von 153 k

Vielen Dank, dann habe ich es doch richtig gemacht ! ^^:)

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