Untersuchen Sie, für welche z die Reihe konvergiert...

Question

Untersuchen Sie, für welche \( z \in \mathbb{C} \) die Reihe

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !} \)

konvergiert.

Hinweis: Überlegen Sie sich die Abschätzung der Art \( (2 n) !>n^{n} \) und erinnern Sie sich an die geometrische Reihe.

Answer 1

Mit dem Hinweis finde ich es schwieri, aber wenn du das Qoutientenkriterium
anwendest, hast du
a_n / a_n+1 =  (1/n!)  /  (1/ (n+1)!)  = n+1
also lim sup a_n / a_n+1  = unendlich,
also Konvergenzradius = unendlich
Reihe konvergiert für alle z aus C.

Comments

Wunderbar!