Kern einer Matrix berechnen: {{1; 2; 0} ; {2 ;1 ;0}; { 0; 0; 0}}

Question

Ich habe hier folgende Beispiel
$$ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 2 \\ 5 & 3 & -4 \end{matrix} \right]  $$

nach umformen in Zeilenstufenform, löse ich das Göleichungssystem
$$\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -7 & 11 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] $$

in dem ich x3 = t setze
dann folgt aus Zeile II:
0 -7x₂ + 11t=0
x₂ = 11t/7

nun setze ich x₂,x₃ in I:

x₁ +22t/7-21t/ =0
x_{1 =} -1t/7

dann ist der kern als Menge angeben
$$kern(A)\quad =\left\{ t\left[ \begin{matrix} -1 \\ 11 \\ 7 \end{matrix} \right]  \right\} $$

nun zu meiner Frage wie mach ich das bei einer Matrix in solcher Gestalt?
$$\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] $$

die Lösungen des Kerns ist angegeben mit
die lösung  des kerns der zweiten matrix ist angegeben mit 

EDIT (Versuch):
$$kern(C)\quad =\left\{ \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ z \end{matrix} \right] |\quad z\in \Re  \right\}$$

Comments

edit:
die lösung  des kerns der zweiten matrix ist angegeben mit
$$kern(C)\quad =\left\{ \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ z \end{matrix} \right] |\quad z\in \Re  \right\} $$

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EDIT: So oben in der Frage nun richtig dargestellt?

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Hast du dein Resultat zu A mit WolframAlpha überprüft?

Answer 1

Zu deiner zweiten Matrix:

Rechne die zweite Zeile minus 2 mal die erste Zeile.

1 2 0

2 1 0

0 0 0

==>

1 2 0

0 -3 0

0 0 0

usw.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%3B+2%3B+0%7D+%3B+%7B2+%3B1+%3B0%7D%3B+%7B+0%3B+0%3B+0%7D%7D+

Kern (C) = { (0,0,z) | z Element R} kannst du eigentlich schon aus der gegebenen Matrix ablesen.

(0,0,1) sieht man sofort.

Der Rang der gegebenen Matrix ist 2. D.h. der Kern hat die Dimension 3-2=1. Damit ist

Kern (C) = { (0,0,z) | z Element R}  der ganze Kern von C.