Was ich am Liebsten mache, ist " Philosophie " - also Grundlagen.
Eine Abbildung ( oder was das Selbe ist; eine Funktion ) ist eine rechtseindeutige ===> Relation. Was ihr zur Not noch alle drauf habt: Du darfst ein x nicht auf zwei verschiedene y abbilden.
f ( x0 ) = y1 ^ f ( x0 ) = y2 ===> y1 = y2 ( 1 )
In einer allgemeinen Relation kann die leere Menge schon mal vorkommen; stell dir die zweistellige Relation " < " ( in Worten: " kleiner als " ) vor auf |N So gibt es etwa die drei Zahlen 0 , 1 und 2 , die kleiner 3 sind. In der Relation kommen demnach diese drei geordneten Paare vor
( 0 ; 3 ) , ( 1 ; 3 ) , ( 2; 3 ) ( 2 )
Dagegen gibt es kein n < 0 . Demnach ist die Menge aller geordneten Paare, die rechts eine Null haben, leer.
In einer Funktion y = f ( x ) ist das ein absolutes Nogo. Es darf einfach nicht sein, wenn x0 dem Definitionsbereich angehört
" Ich habe heute keine Lust, diesem x0 ein y0 = f ( x0 ) zuzuordnen ... "
Das BILD EINER MENGE DARF NIE LEER SEIN .
Und damit komme ich zu meinem nächsten Punkt. Seien V , W zwei Vektorräume und
f : V ===> W ( 3 )
eine lineare Abbildung. Zu zeigen: Bild ( V ) ist ein Vektorraum; das wird jetzt deine Hausaufgabe. Drei Dinge sind zu zeigen
1) Der Nullvektor liegt in Bild ( V ) ; es gibt ein x0 € V mit
f ( x0 ) = 0 ( 4a )
2) Homogenität; wenn y0 = f ( x0 ) , so gibt es
x1 € V : f ( x1 ) = k x0 ( 4b )
3) Additivität
Wenn y1 = f ( x1 ) und y2 = f ( x2 ) , dann gibt es
x3 € V : f ( x3 ) = y1 + y2 ( 4c )
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Das sind die drei Vektorraumaxiome; bist du einer von denen, die in der Vorlesung mitschreiben? Dann solltest du das irgendwo in deinen Aufzeichnungen haben; aber es gibt ja auch den Kowalsky und den Greub.
Diesen Punkt ( 4a ) will ich doch noch etwas näher beleuchten; wie kommt es eigentlich, dass der Nullvektor immer in dem Bild einer linearen Abbildung liegt? Da gibt es jetzt zwei verschiedene Begründungen; die eine ist für Touristen und die andere " highly sophisticated "
Das Selbstverständliche zunächst; lineare Abbildungen befriedigen
f ( k x ) = k f ( x ) ( 5 )
Setze k = 0 ; wzbw .
Wie ich sie HASSE , jene Aal glatten Überflieger, die dir den ganzen Tag weis machen wollen, es sei " eben alles immer ganz einfach ... "
Deshalb werde ich jetzt tief schürfend esoterisch. Kannst du noch ===> Gruppen und ===> Gruppenhomomorphismen? Wird von den Profs immer etwas stiefmütterlich behandelt; ich weiß. Aber manchmal hat es eben doch auch seinen guten Sinn. Seien G1 und G2 zwei Gruppen mit neutralem Element e1 bzw. e2 und f ein solcher Homomorphismus
f : G1 ====> G2 ( 6a )
Dann gilt ganz allgemein
f ( e1 ) = e2 ( 6b )
Jetzt müssen wir etwas tiefer einsteigen in die Vektorraumaxiomatik. Das geht doch jetzt los, ( V , + ) ist eine ( kommutative ) Gruppe. Mach dir bitte klar, dass lineare Abbildungen spezielle Gruppenhomomorphismen sind unter dieser Addition - haste auch noch nicht gewusst; was? Und das Neutrale ist der Nullvektor; dann sagt ( 6b ) aus für den Sonderfall ( 3 ) , dass der Nullvektor von V abgebildet wird auf den Nullvektor von W .
Was ich bei uns in Frankfurt immer so toll fand: Nie haben sich unsere Profs und Assistenten gescheut, die patologischen Sonderfälle anzusprechen, die sonst immer so voel Schwierigkeiten bereiten. Ich will doch noch eingehen auf den Begriff lineare Abhängigkeit. Stell dir vor, a1 ist der Nullvektor und a2 und a3 sind Vektoren ungleich Null. Frage: Ist das System ( 7a ) linear abhängig oder unabhängig?
{ a1 ; a2 ; a3 } ( 7a )
Erst selber nachdenken und dann erst spicken, ob du richtig geraten hast.
ß1 a1 + ß2 a2 + ß3 a3 = 0 ( 7b )
Setze ß1 = 4 711 ===> linear abhängig .
Oder so: Möge das System nur einen einzigen Vektor enthalten. Abhängig oder unabhängig?
Antwort: Linear abhängig genau dann, wenn dieser Vektor der Nullvektor ist.
Ich reite da bissele drauf rum wegen dem Begriff des Ranges einer Matrix bzw. Abbildung. Der Rang ist nämlich nichts anderes als Dimemsion ( Bild ( f ) ) Hier habe ich ein großes Wort gelassen ausgesprochen: Dimension .
" Was ist das, liebe Kinder? Kann man das essen? "
Ich will hier nicht von Hölzken auf Stöxken kommen; lies dir mal den Wikiartikel über die Vektorraumbasis durch - brillant sag ich dir.
Er gibt dir vier ( aquivalente ) Kriterien an die Hand. Ich für mein Teil habe sie auswändig gelernt - tue desgleichen.
Um das Ganze etwas abzukürzen, beschränke ich mich auf Wiki Kriterium 4 , das wohl populärste ( Die Meisten wenden es eher unterbewusst richtig an. )
" Eine Basis ist ein maximal linear Unabhängiges. "
Unser Anschauungsraum |R ³ beispielsweise ist dreidimensional, weil ein linear unabhängiges System aus höchstens drei Vektoren bestehen kann ( Es könnten ja auch ein Vektor sein oder zwei; aber 4 Vektoren sind immer abhängig. )
Und diese Höchstzahl heißt eben Dimension.
Die Nullmatrix ist die " einzigste " Matrix, deren Bild nur aus der Null besteht. Dieser Raum besitzt Null linear unabhängige Vektoren; die Dimension des Bildes und damit der Rang der Nullmatrix ist Null.
Und tu mir die Liebe; so Sätze wie
" Der Kern ist die Standardbasis "
können dich in einer mündlichen Prüfung Kopf und Kragen kosten, wenn der Prof eh schon schlecht drauf ist. Ich hatte dir oben die Hausaufgabe gegeben: Das Bild einer linearen Abbildung ist ein VEKTORRAUM .
Jetzt kriegst du gleich noch eine Strafarbeit; der Kern einer linearen Abbildung ist EBEN FALLS ein Vektorraum und eben KEINE Basis.
Wäre ein lohnendes Tema für eine Meditation; denk bitte nach, warum eine Basis NIEMALS ein Vektorraum sein kann.
Solltest du dich da unsicher fühlen - scheue dich nicht, dich vertrauensvoll an mich zu wenden.
Icxh hoffe mir ist es gelungen, bei dir die schlimmsten vorurteile auszuräumen.
