Beweisen Sie folgende Gleichungen

Question

kann mir jemand bei diesen Aufgaben weiter helfen.. 1. $$\sin \left( \alpha  \right)=2\sin \left( \frac{\alpha }{2} \right)\cos \left( \frac{\alpha }{2} \right)$$
2.$$\cos \left( \beta  \right)=\; \cos ^{2}\left( \frac{\beta }{2} \right)-\sin ^{2}\left( \frac{\beta }{2} \right)$$

Comments

was darfst du denn bebutzen ?

z.B. die gängigen Formeln für sin(alpha/) oder nur Additionstheoreme ?

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Additionstheoreme

Answer 1

ich nehm mal a und b statt alpha...
 sin(a) = sin (a/2  +  a/2)  =  sin(a/2)*cos(a/2) + sin(a/2)*cos(a/2) = 2*sin(a/2)*cos(a/2)  q.e.d.

cos(b) = cos( b/2  +   b/2 ) = passt!

Comments

danke, aber kannst du es vielleicht ein bisschen ausführlicher erklären, kann die schritte irgendwie nicht verstehen :/

z.b.  wie kommst du von sin(a) zu sin (a/2  +  a/2) und zu sin(a/2)*cos(a/2) + sin(a/2)*cos(a/2)..

und steht a für alpha oder hast du für alpha a eingesetzt?

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ob alpha oder a ist ja egal,

allerdings kann ich a besser tippen.

na ja:    a/2 + a/2 ist das gleiche wie a

ein Halbes + ein Halbes gibt ein ganzes.

Das andere war das additionstheorem.

da setzt du in deiner Formel statt alpha und beta

einfach an beiden Stellen a/2 ein !

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achsoo.. alles klar.

eine Frage noch und zwar das hier: cos(b) = cos( b/2  +   b/2 ) = passt!

das habe ich nicht verstanden.. also als Ergebnis hattest du ja schon 2*sin(a/2)*cos(a/2)

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das "passt"  soll nur bedeuten, dass du  wirklich

das angegebene Ergebnis erhältst, wenn du b/2 beim

Additionstheorem von cos für beide Variablen einsetzt.

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vielen dank..

hier habe ich die 2. Aufgabe gemacht.. ist das soweit richtig?

$$\cos \left( \beta  \right)=\; \cos \left( \frac{\beta }{2}+\frac{\beta }{2} \right)=\cos \left( \frac{\beta }{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{\beta }{2} \right)-\sin \left( \frac{\beta }{2} \right)\cdot \sin \left( \frac{\beta }{2} \right)=\cos ^{2}\left( \frac{\beta }{2} \right)-\sin^2 \left( \frac{\beta }{2} \right)$$

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Na, geht doch!

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wärst du nur der Prof.

vielen Dank