Ungleichungen zeigen: n*rn-1 ≤ (sn - rn)/(s-r) ≤ nsn-1, wobei 0≤r<s

Question

Für die reellen Zahlen $r$ und $s$ gelte $0 \leq r<s$. Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen $n \geq 2$ die Ungleichungen

$n r^{n-1} \leq \frac{s^{n}-r^{n}}{s-r} \leq n s^{n-1}$

Hinweis. Zeigen Sie zunächst die Identität

$s^{n}-r^{n}=(s-r) \sum \limits_{k=0}^{n-1} s^{n-k-1} r^{k}$ für positive ganze Zahlen $n$ sowie beliebige reelle Zahlen $r$ und $s$.

Ansatz:

Habe mich daran versucht und habe das mit Induktion gemacht :

Bei n-> n+1

Habe ich dann versucht die erste Ungleichung zu lösen, komme jedoch nicht drauf...

Meine Ansätze:

(n+1)rⁿ ≤ (sⁿ+1 -rⁿ) / (s-r)

(n+1)rⁿ *(s-r) ≤ sⁿ⁺¹- rⁿ⁺¹

Answer 1

Beweis der Ungleichung: 

Benutze diesen Hinweis. Teile durch (s-r) und schätze dann im einen Fall r mit s ab und danach im 2. Fall s mit r.

So hast du direkt die Terme links und rechts der Kette mit dem richtigen Ungleichzeichen.

Beweis der Formel im Hinweis:

Mehrere Verfahren möglich:

1. Polynomdivision

2. Rechte Seite ausmultiplizieren.

3. Induktionsbeweis.

Methode 2. ist meist am einfachsten.

Comments

Wenn du machen darfst, was du willst: Nimm Nr. 2 und multipliiere aus

(s-r)*(s^n-1 + s^n-2 * r¹ + s^n-3*r² + ....... + r^n-1)

= sⁿ - r*s^n-1 + s^n-1*r - r*s^n-2*r + s^n-2*r² - r*s^n-3*r² + ......-rⁿ

= sⁿ - rⁿ.    qed. HInweis.

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Ja dann hat man den. Hinweis bewiesen, was bringt das jetzt, wie beweist man die Ungleichung ?

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Setze in der Behauptung die Summe im Hinweis in die Mitte.

n*s^n-1  ≤ SUMME ≤ n*r^n-1

Und überlege erst, warum das jetzt die ursprüngliche Behauptung ist.

Als Zweites schreibst du die Summe ausgeschrieben hin und berücksichtigst, dass 0<s<r.