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Aufgabe:

Seien \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) reelle Zahlen mit \( a_{i} \geq-1 \) für \( i=1,2, \ldots, n \) und \( a_{i} \cdot a_{j} \geq 0 \) für alle \( i, j=1,2, \ldots, n . \) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Ungleichung

\( \prod \limits_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right) \geq 1+\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \)

für alle \( n \in \mathbb{N} \). Welche Ungleichung erhält man für \( a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n} \) bzw. wie heißt diese Ungleichung?


Für jede positive ganze Zahl und jede Menge {a1,....an} nicht negativer reeller Zahlen ( ak>0 für k=1,...,n) Gilt Π ( 1+ak) ≥ 1 + Σ ak. Ist die Behauptung auch für n=0 richtig? Die Menge {a1,....,an} ist dann die Leere Menge.

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Für den 2. Teil kannst du teilweise hier schauen: https://www.mathelounge.de/112843/binomischen-lehrsatz-mit-vollstandiger-induktion-beweisen

Was weisst du alles über a1, a2, ... ?

Ich weiss dass es reelle zahlen sind und dass sie positiv sind und größer Null

1 Antwort

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Hi,


Hinweis zum Induktionsschritt:

$$ \prod_{i=1}^{n+1} (1+a_i) = (1 + a_{n+1}) \cdot \prod_{i=1}^{n}  (1 + a_i)$$

Dann nur noch die Bedingung

$$ a_i \cdot a_j > 0 $$ verwenden.

Avatar von 23 k

im nächsten Schritt für n = n+1 einsetzen..

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