Betrachten Sie die Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Question

Betrachten Sie die Abbildungen

f:Z--> Z*Z mit f(m)=(m-1,2) und g:Z * Z --> Z mit g((m,n))=m+n

Untersuchen Sie f,g, f°g, g°f auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

Mich verwirrt das 1,2... Es ist hier doch von ganzen Zahlen die Rede.. Mich verwirrt auch das Z*Z

Ich weiß nicht so ganz, wie ich hier vorgehen soll.

Die Begriffe Injektivität, Surjektivität und Bijektivität kenne ich bereits, dennoch weiß ich nicht weiter...

Answer 1

f(m) = (m-1; 2)
sind m1 m2 aus Z mit f(m1) = f(m2) dann ist (m1-1;2) =( m2-1; 2)   
                             also  m1-1 = m2 - 1      und  2=2 (bringt nix)
                                        m1 = m2 ok, also f injektiv
surjektiv: nee, z.B. gibt es kein m aus Z mit f(z) = (5;3), weil 2. Komponente der
Bilder immer 2 ist.

g((m,n)) = m+n      es ist g( (2;3)) = g ( (1;4))  also nicht injektiv
jedes m asu Z kommt als Bild vor, nämlich  f(m,0) = m
also g surjektiv.

f(g(m,n) = f(m+n) = ( m+n-1 , 2 ) ist weder injektiv
z.B   f(g( (2,3) ) = (4,2)   und f( g((1,4) ) = 4,2)
noch surjektiv   denn Paare mit z.B 3 als 2. Komp. kommen nicht als Bilde3r vor.

g(f(m)) = g ( (m-1, 2 ) = m-1 + 2  = m+1
ist sogar bijektiv.