Zeigen Sie durch vollstandige Induktion, dass x n < 4/3 für alle n 2 N gilt.

Question

habe Probleme die folgende Aufgabe zu lösen:

Betrachten sie die rekursiv definierte Folge:

x₀ := 0    x_n+1 := 1/4 x_n + 1,  n∈ℕ

a) zeigen sie durch vollständige Induktion dass x_n < 4/3 n∈ℕ gilt.
b) zeigen sie das die Folge (x_n) streng monoton wachsend ist
c) Schliessen sie das die Folge konvergiert und berechnen sie den Grenzwert.

:)

Answer 1

a) Wie "groß" kann denn 1/4x_n + 1 sein, wenn x_n < 4/3 (Hinweis für den Induktionsschritt)

b) Um die strenge Monotonie nachzuweisen musst du zeigen, dass 3/4x_n < 1 für alle n. (benutze a))

c) Wann konvergiert denn eine Folge? (Äquivalente Defintion) <- ist diese erfüllt?

Für Grenzwertberechnung betrachte:

\( \lim \limits_{n \to \infty} x_{n+1} = x = \lim \limits_{n \to \infty} x_n \)

Gruß

Comments

heisst das ich müsste es so aufschreiben?

X_n +1 := 1/4 4/3 +1

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Nein:

\( x_{n+1} < 1/4 \cdot 4/3 +1 = ...? \)