Matrixmultiplikation: Berechnen Sie An für n∈N

Question

Aufgabe Matrixmultiplikation:

Gegeben seien die Matrizen

$A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & -1 & -2 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

(a) Berechnen Sie $(A+B)^{2}$ und $A^{2}+2 A B+B^{2}$.

(b) Berechnen Sie $A^{n}$ für alle $n \in \mathbb{N}$.

(c) Berechnen Sie $B^{n}$ für alle $n \in \mathbb{N}$.

(d) Bestimmen Sie alle $C \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ mit $C^{\top} C=0$.

Answer 1

berechne mal A^2  also A * A
Das gibt    1111
                   0000
                  0000
                  -1-1-1-1
und A^3 gibt alles nur Nullen,
also auch alle weiteren
A^n für n>2 ist immer die Nullmatrix.

Bei B wirst du sehen es ist B*B*B = Einheitsmatrix
Dann ist also B^4 wieder gleich B,  B^5 = B^2 und B^6 wieder die Einheitsmatrix u.s.w.