Zeige: Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Untervektorraum

Question

Aufgabe:

Es sei \( A \in \operatorname{Mat}_{m \times n}(\mathbb{R}) . \) Zeigen Sie, dass die Lösungsmenge \( Lös (A, 0) \) des homogenen linearen Gleichungssystems \( A x=0, \) also

$$ \operatorname{Lös}(A, 0)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} | A x=0\right\} $$

ein Untervektorraum des \( \mathbb{R}^{n} \) ist.

Answer 1

Du musst drei Dinge zeigen
(1) \( Lös(A,0) \ne \emptyset \)
(2) Lös(A,0) ist abgeschlossen gegenüber der Addition
(3) Lös(A,0) ist abgeschlossen gegenüber der skalren Multiplikation

(1) ist klar, weil \( 0 \in Lös(A,0) \)

Zu (2)
Seien \( u \) und \( v \in Lös(A,0) \) dann gilt
$$  0=Au+Av=A(u+v) $$
Also ist \( u+v \in Lös(A,0) \)

Zu (3)
Sei \( u \in Lös(A,0) \) dann gilt
$$ 0=\lambda Au = A(\lambda u ) $$

also ist auch \( \lambda u \in Lös(A,0) \)

Damit ist alles gezeigt.