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Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper.

a) Zeigen Sie, dass jeder Untervektorraum \( U \subset K^{n} \) Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems über \( K \) ist.

b) (i) Sei \( A \in \operatorname{Mat}(m \times n, K) . \) Zeigen Sie, dass die Menge aller \( y \in \operatorname{Mat}(m \times 1, K), \) für die das lineare Gleichungssystem \( A x=y \) über \( K \) lösbar ist, ein Unterraum \( U_{A} \) von \( \operatorname{Mat}(m \times 1, K) \) ist.

b) (ii) Bestimmen Sie im Fall \( K=\mathbb{R} \) und
$$ A=\left(\begin{array}{rrr} {1} & {-2} & {1} \\ {2} & {1} & {1} \\ {0} & {5} & {-1} \end{array}\right) $$
eine Basis von \( U_{A} \)

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