Wie bestimme ich den Grenzwert der Konvergenten Reihe?

Question

Hallo.

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ (-1)^{ n } } \frac { 7\cdot 3^{ n+2 } }{ { 5 }^{ n } } .$$

Ich weiß nicht wie das anhand dieses Beispiels funktioniert. Wäre super wenn Ihr mir helfen könntet!!

Answer 1

Forme so um, dass eine geometrische Reihe entsteht.$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{7\cdot3^{n+2}}{5^n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{7\cdot3^2\cdot3^n}{5^n}=63\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac35\right)^n\\=63\cdot\frac1{1-\left(-\frac35\right)}=\frac{315}8.$$