Der Hersteller von Konservendosen möchte wissen:

Question

Welche Konservendose mit dem Oberflächeninhalt von 3000 cm^2 hat den größten Flächeninhalt?

Comments

Du meinst eher den größten Volumeninhalt, oder?

O = 2r^2*pi*h + 2*r*pi*h = 3000
 
r^2*pi*h + r*pi*h = 1500

h = (1500-r^2*pi*h)/ (r*pi) = 1500/(r*pi) -r


V = r^2*pi*h

Setze h in V = ... ein und setze V '(h) = 0

Answer 1

Ein Zylinder mit gegebener Oberfläche soll ein maximales Volumen haben.

Nebenbedingung

O = 2·pi·r·h + 2·pi·r^2

h = O/(2·pi·r) - r

Hauptbedingung

V = pi·r^2·h

V = pi·r^2·(O/(2·pi·r) - r)

V = O·r/2 - pi·r^3

Extremstellen V' = 0

V' = O/2 - 3·pi·r^2 = 0

r = √(O/(6·pi))

h = O/(2·pi·r) - r = O/(2·pi·√(O/(6·pi))) - √(O/(6·pi)) = √(2·O/(3·pi)) = 2·r