Berechnen sie Re und Im teil

Question

Berechnen sie Real- und Imaginärteile der komplexen Zahl :

z^2 = 1+2i

kann mir jdn  bitte lösen , ich stecke leider fest :(

habe schon was ähnliches gefunden  , habe versucht , klappt aber leider nicht .

meine lösung :

z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = 1+2i

(I) x^2 - y^2 =1

(II) 2xy = 2

und wie mache ich jetzt weiter ?

bitte helft mir !

Sabrina .

Answer 1

$$ x^2 - y^2 + 2ixy = 1+2i  $$
Realteilvergleich:
$$  x^2 - y^2 = 1  $$
Imaginärteilvergleich:
$$ 2ixy = 2i  $$
$$ 2xy = 2  $$
$$ xy = 1  $$
$$ y = \frac 1x  $$
einsetzen in den Realteilvergleich:
$$  x^2 - (\frac 1x )^2 = 1  $$
$$  x^4 -1 = x^2  $$
$$  x^4  - x^2  -1=0$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort pleindespoir !!!! aber wie kommt man dann zum Re und Im teil ? wäre sehr lieb wenn du mir weiter zeigst !

Sabrina

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$$  x^4  - x^2  -1=0$$
hier liegt eine sog. biquadratische Gleichung vor, die durch Substitution gelöst werden kann.
$$s=x^2$$
$$  s^2  - s  -1=0$$
p-q-Formel:
$$  s    = \frac12\pm \,\frac12\, \sqrt{5} $$
Resubstitution: $$x=\sqrt s$$
$$  x_1    = +\sqrt{\frac12+ \,\frac12\, \sqrt{5}} $$
$$  x_2    = +\sqrt{\frac12- \,\frac12\, \sqrt{5}} $$
$$  x_3    = -\sqrt{\frac12+ \,\frac12\, \sqrt{5}} $$
$$  x_4    = -\sqrt{\frac12- \,\frac12\, \sqrt{5}} $$
Das wären mal die Lösungen für die Realteile, wobei zwei davon gleich in die Tonne purzeln, weil die Determinanten der Wurzeln negativ und damit imaginär sind.
Der Imaginärteil ist der Kehrwert des Realteiles (aber nur bei dieser Aufgabe zufällig!)

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ich danke dir erstmal mehrmals für deine müge pleindespoir !

also Real teil ist x1 und x3 oder  ?

imaginärteil ist der kherwert des realteiles habe ich nicht verstanden was du damit meinst bzw. wie die imaginärteile aussieht ? und warum sollte  der kehrwert des realteiles sein?

LG

Sabrina

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siehe Imaginärteilvergleich:$$ xy=1$$$$y= \frac 1x $$

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also Re(z1) = x1

Re (z2) = x3

und Im(z) = 1/x

richtig so  ?

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nun noch richtig ausrechnen und jedem x sein y zuordnen.