Question

Einer Kugel vom Radius r wird ein gerader Drehzylinder von größtem Volumen einbeschrieben. Berechne die Maße des Drehzylinders.

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was hast du dir denn schon selbst überlegt?

Answer 1

Einer Kugel vom Radius r wird ein gerader Drehzylinder von größtem Volumen einbeschrieben. Berechne die Maße des Drehzylinders.

Zielfunktion:

$V(R,h)=R^2πh$ soll maximal werden.

Nebenbedingung

$R^2 + (\frac{h}{2})^2 = r^2$   Dies nun nach R^2 auflösen:

$R^2 = r^2-\frac{h^2}{4}$ und in die Zielfunktion einsetzen:

$V(h)=(r^2-\frac{h^2}{4}) πh\\=r^2πh-\frac{π}{4}\cdot h^3$

$V'(h)=r^2π-\frac{3π}{4}\cdot h^2$

$r^2π-\frac{3π}{4}\cdot h^2=0$

$\frac{3π}{4}\cdot h^2=r^2π$

$h^2=\red{\frac{4r^2}{3}}$  

$h=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}r \sqrt{3}$

$R^2 = r^2-\frac{h^2}{4}=r^2-\frac{\red{\frac{4r^2}{3}}}{4}=\frac{2}{3}r^2$

$R =r\sqrt{\frac{2}{3}}=r\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{r}{3}\sqrt{6}$

Comments

Ich würde statt dessen ein maximales Rechteck in einem Kreis mit Radius r bestimmen und erhalte dieselben Maße auf Grund der Rotationssymmetrie.