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Einer Kugel vom Radius r wird ein gerader Drehzylinder von größtem Volumen einbeschrieben. Berechne die Maße des Drehzylinders.

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was hast du dir denn schon selbst überlegt?

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Einer Kugel vom Radius r wird ein gerader Drehzylinder von größtem Volumen einbeschrieben. Berechne die Maße des Drehzylinders.

Unbenannt.JPG

Zielfunktion:

V(R,h)=R2πhV(R,h)=R^2πh soll maximal werden.

Nebenbedingung

R2+(h2)2=r2R^2 + (\frac{h}{2})^2 = r^2   Dies nun nach R^2 auflösen:

R2=r2h24R^2 = r^2-\frac{h^2}{4} und in die Zielfunktion einsetzen:

V(h)=(r2h24)πh=r2πhπ4h3V(h)=(r^2-\frac{h^2}{4}) πh\\=r^2πh-\frac{π}{4}\cdot h^3

V(h)=r2π3π4h2V'(h)=r^2π-\frac{3π}{4}\cdot h^2

r2π3π4h2=0r^2π-\frac{3π}{4}\cdot h^2=0

3π4h2=r2π\frac{3π}{4}\cdot h^2=r^2π

h2=4r23h^2=\red{\frac{4r^2}{3}}   

h=2r3=23r3h=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}r \sqrt{3}

R2=r2h24=r24r234=23r2R^2 = r^2-\frac{h^2}{4}=r^2-\frac{\red{\frac{4r^2}{3}}}{4}=\frac{2}{3}r^2

R=r23=r23=r36R =r\sqrt{\frac{2}{3}}=r\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{r}{3}\sqrt{6}

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Ich würde statt dessen ein maximales Rechteck in einem Kreis mit Radius r bestimmen und erhalte dieselben Maße auf Grund der Rotationssymmetrie.

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