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Wer bitte eilt mir zur Hilfe ?

Gegeben ist die Integralfunktion Fa (x) =ax (2t 2 + 4t) dt

a) gebe den Term der Funktion Fa (x)  explizit ein.

b) zeige dass die Ableitung  von Fa (x) gleich dem Term der Integrandenfunktion ist.

c) Nun, sei a= 0                   Für welchen Wert x gilt F0 (x) = 4/3 ?

d) Für welchen Wert a hat Fa (x) an der Stelle x = 2 eine Nullstelle ?


Gruß Pia

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2 Antworten

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$$\int\,  2t^ 2 + 4t \,dt$$

Stammfunktion einer Polynomfunktion finden ... sollte kein Stress machen, oder?

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doch... ich kann es nicht

Grundlagen! Dringend nachlernen !!!

Stammfunktion eines Polynoms $$ \int \, a\cdot x^n\, dx \rightarrow \frac a{n+1}\cdot x^{n+1}$$

Kannst du mir nicht die Formel an meiner Bsp. aufg. erklären

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Hier mal die Aufgabe a) 

Fa (x) =a ∫x (2t 2 + 4t) dt

= 2/3 t^3 + 4/2 t^2 |ax 

= 2/3 x^3 + 2x^2 - (2/3 a^3 + 2a^2) 

Nun zu b)

b) zeige dass die Ableitung  von Fa (x) gleich dem Term der Integrandenfunktion ist.

Fa(x) = 2/3 x^3 + 2x^2 - (2/3 a^3 + 2a^2) 

Fa ' (x) = 2/3 * 3 x^2 + 4x - 0 = 2x^2 + 4x   q.e.d.

c) Nun, sei a= 0                   Für welchen Wert x gilt F0 (x) = 4/3 ?

F0(x) = 2/3 x^3 + 2x^2 - (0) = 4/3   |*3

2x^3 + 6x^2 - 4 = 0      |:2

x^3 + 3x^2 - 2 = 0

x1= -1 durch Raten gefunden.

Polynomdivision ---> weitere Nullstellen? Gemäss Fragestellung, ist nur ein solcher Wert zu erwarten. D.h. die quadratische Gleichung, die du da noch findest, sollte keine reelle Lösung haben.


d) Für welchen Wert a hat Fa (x) an der Stelle x = 2 eine Nullstelle ?

Fa(2) = 2/3 *2^3 + 2*2^2 - (2/3 a^3 + 2a^2) = 0

16/3 + 8 = 2/3 *a^3 + 2a^2  |:2

8/3 + 4 = 1/3*a^3 + a^2    | *3

8 + 12 = a^3 + 3a^2 

0 = a^3 + 3a^2 - 20

a1 = 2 Lösung durch Raten gefunden / abgelesen!


Gemäss Fragestellung die einzige reelle Lösung. Kontrolle wiederum via Polynomdivision möglich.

 
( a^3 + 3a^2 - 20) : (a-2) = a^2 ....

....

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