\(f_n(x)=x^n\) konvergiert ja für \(x \in [0,1)\) lediglich punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen 0.
Kann ich das per Supremumsnorm auch zeigen?
$$\lim_{n\rightarrow\infty} ||f-f_n||_A = 0$$ darf ja eben nicht gelten.
f ist in meinem Falle 0, also muss gezeigt werden, dass
$$\lim_{n\rightarrow\infty} ||f_n||_A \neq 0$$
Wenn ich die Supremumsnorm richtig verstehe, dann ist \(||f_n||_A\) in hier der größte Wert den \(f_n\) im Intervall annehmen kann, und auch wenn die Folge für steigende n gegen 0 konvergiert, so muss der größte Wert ja immer noch ungleich Null (genauer: fast 1) sein. (Aufgrund der Stetigkeit?)
Oder begründet man das anders besser?
