Aufgabe - Matrizen und lineare Gleichungssysteme:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
(a) Die Menge der Matrizen \( A \), welche
\( A\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right) \quad \text { und } A\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \)
erfüllen, enthält mehr als 2 Elemente.
(b) Es existiert eine Matrix \( A \) mit \( A\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) und \( A\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) \).
(c) Sei \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \). Sei \( b \in \mathbb{R}^{3} \). Wenn \( \left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid A x=b\right\}=\mathbb{R}^{2} \) ist, dann gilt \( A=0 \) und \( b=\mathbf{0} \).
(d) Sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \backslash\{0\} . \) Ist \( m>n \), dann ist \( \operatorname{dim}\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}=0 \).
(e) Sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \backslash\{0\} \). Ist \( m<n \), dann ist \( \operatorname{dim}\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}>0 \).
Quelle: mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel/
