Aussage wahr oder falsch: Es gibt einen Unterraum U von (K15)*, sodass dimK(U)-dimK(∩φ∈U Kern(φ))=4.

Question

Ich habe in der Algebra Vorlesung folgende Behauptung gegeben und muss entscheiden ob sie wahr oder falsch ist.

Sei K ein Körper. Es gibt einen Unterraum U von (K¹⁵)*, sodass dim_K(U)-dim_K(∩_φ∈U Kern(φ))=4.

Kann mir hierbei jemand weiterhelfen?

Answer 1

Sei $K$ ein Körper. Sei $U\subseteq\left(K^{15}\right)^{*}$ ein beliebiger Untervektorraum des Dualraums $\left(K^{15}\right)^{*}$ zum $K$-Vektorraum $K^{15}$.

Es ist$\bigcap_{\varphi\in U}\ker(\varphi) = \bigcap_{\varphi\in U}\left\lbrace v\in K^{15} \middle| \varphi(v) = 0 \right\rbrace = \left\lbrace v\in K^{15} \middle| \forall\varphi\in U :\ \varphi(v) = 0 \right\rbrace= U^0,$ wobei $U^0$ den Annihilator von $U$ bezeichnet.

Es gilt: \[\dim_K\left(U⁰\right) = \dim_K\left(K¹⁵\right)-\dim_K\left(U\right)\]

Damit erhält man: $\begin{aligned}\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(\bigcap_{\varphi\in U}\ker(\varphi)\right)&=\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(U^0\right)\\&=\dim_K\left(U\right)-\left(\dim_{K}\left(K^{15}\right)-\dim_{K}\left(U\right)\right)\\&=2\cdot\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(K^{15}\right)\\&=2\cdot\dim_K\left(U\right)-15\end{aligned}$

Wenn also $\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(\bigcap_{\varphi\in U}\ker(\varphi)\right) = 4$ sein soll, muss $2\cdot\dim_K\left(U\right)-15 = 4$ sein. Dann müsste jedoch $\dim_K\left(U\right)= \frac{19}{2}$ sein, was im Widerspruch dazu ist, dass die Dimension eines Vektorraums immer eine natürliche Zahl ist.

Ergebnis: Die zu untersuchende Behauptung ist falsch. Für keinen Körper K gibt es einen entsprechenden Unterraum $U\subseteq\left(K^{15}\right)^*$ mit $\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(\bigcap_{\varphi\in U}\ker(\varphi)\right) = 4$.