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Ich habe in der Algebra Vorlesung folgende Behauptung gegeben und muss entscheiden ob sie wahr oder falsch ist.


Sei K ein Körper. Es gibt einen Unterraum U von (K15)*, sodass dimK(U)-dimK(∩φ∈U Kern(φ))=4.


Kann mir hierbei jemand weiterhelfen?

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Sei \(K\) ein Körper. Sei \(U\subseteq\left(K^{15}\right)^{*}\) ein beliebiger Untervektorraum des Dualraums \(\left(K^{15}\right)^{*}\) zum \(K\)-Vektorraum \(K^{15}\).


Es ist\[\bigcap_{\varphi\in U}\ker(\varphi) = \bigcap_{\varphi\in U}\left\lbrace v\in K^{15} \middle| \varphi(v) = 0 \right\rbrace = \left\lbrace v\in K^{15} \middle| \forall\varphi\in U :\ \varphi(v) = 0 \right\rbrace= U^0,\] wobei \(U^0\) den Annihilator von \(U\) bezeichnet.


Es gilt: \[\dim_{K}\left(U^{0}\right) = \dim_{K}\left(K^{15}\right)-\dim_{K}\left(U\right)\]


Damit erhält man: \[\begin{aligned}\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(\bigcap_{\varphi\in U}\ker(\varphi)\right)&=\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(U^0\right)\\&=\dim_K\left(U\right)-\left(\dim_{K}\left(K^{15}\right)-\dim_{K}\left(U\right)\right)\\&=2\cdot\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(K^{15}\right)\\&=2\cdot\dim_K\left(U\right)-15\end{aligned}\]

Wenn also \[\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(\bigcap_{\varphi\in U}\ker(\varphi)\right) = 4\] sein soll, muss \[2\cdot\dim_K\left(U\right)-15 = 4\] sein. Dann müsste jedoch \[\dim_K\left(U\right)= \frac{19}{2}\] sein, was im Widerspruch dazu ist, dass die Dimension eines Vektorraums immer eine natürliche Zahl ist.

Ergebnis: Die zu untersuchende Behauptung ist falsch. Für keinen Körper K gibt es einen entsprechenden Unterraum \(U\subseteq\left(K^{15}\right)^*\) mit \(\dim_K\left(U\right)-\dim_K\left(\bigcap_{\varphi\in U}\ker(\varphi)\right) = 4\).

von 1,2 k

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