Es sei [a,b] ein reelles Intervall und
$$f: [a,b] \longrightarrow \mathbb R, x \longmapsto f(x)$$
eine Funktion. Zeige, dass f genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ε > 0 gibt es eine Unterteilung
$$a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{k-1} < x_k = b$$
derart, dass die lineare Interpolation g (zu dieser Unterteilung und zu f) die Eigenschaft
$$|f(x)-g(x)|\leq\epsilon \text{ für alle }x \in [a,b] $$
erfüllt.
(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)
