Die reelle Zahlenfolge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) mit ausnahmslos von Null verschiedenen Gliedern konvergiere gegen Null. Zeigen Sie, dass es zu jeder reellen Zahl \( x \) Folgen \( \left(s_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ganzer Zahlen derart gibt, dass
\( x=\sum \limits_{n=1}^{\infty} s_{n} a_{n} \quad \text { und } \quad x=\prod \limits_{n=1}^{\infty} p_{n} a_{n} \)
ist.
Hinweis. Analog zu unendlichen Reihen sind unendliche Produkte durch
\( \prod \limits_{n=1}^{\infty} x_{n}:=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \prod \limits_{n=1}^{k} x_{n} \)
definiert, falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.
