Betrachten Sie Folge von Vektoren
\( v_{1}=(1,2), \quad v_{2}=(3,4), \quad v_{3}=(5,6), \quad \ldots, \quad v_{n}=(2 n-1,2 n), \quad \ldots \)
des reellen Standardvektorraums \( V=\mathbb{R}^{2} . \)
(1) Schreiben Sie, für \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( m \neq n \), die Vektoren \( (1,2) \) und \( (1,0) \) explizit als Linearkombinationen von \( v_{m} \) und \( v_{n} \).
(2) Zeigen Sie: Für alle \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( m \neq n \) ist \( \left\{v_{m}, v_{n}\right\} \) ein Erzeugendensystem von \( V \).
(3) Beweisen Sie, dass für paarweise verschiedene \( l, m, n \in \mathbb{N} \) die Menge \( \left\{v_{m}, v_{n}\right\} \) linear unabhängig und die Menge \( \left\{v_{l}, v_{m}, v_{n}\right\} \) linear abhängig ist.
(4) Bestimmen Sie alle linear unabhängigen Teilmengen der Menge \( \left\{v_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \).
