DIfferentialgleichung zum Benzinverbrauch eines Autos

Question

B(x) bezeichne die Anzahl der Liter Benzin, die noch im Tank eines Autos sind, wenn es x Kilometer

gefahren ist. Nehmen Sie an, das Auto hat einen konstanten Verbrauch von Treibsto pro Kilometer b.

Zusatzlich wird durch das Gewicht des im Tank vorhandenen Treibstoff es der Verbrauch um

einen konstanten Faktor α erhoht.

a) Geben sie die Diff erentialgleichung an, die beschreibt wie hoch der Verbrauch des Autos B_(x) in Abhängigkeit zum Tankinhalt B(x).

b) Geben sie die allgemeine Losung der Di fferentialgleichung fur ein Auto an, dass zu Beginn der Fahrt mit B0 betankt wurde. Beschreiben Sie den Lösungsweg.

c) Wie viele Kilometer x* kann ein Auto, dass mit B0 Litern betankt wurde, fahren?

d) Mit wieviel Litern Benzin B** muss das Auto mindestens betankt werden um x** Kilometer fahren zu konnen?

e) Ein Auto mit leerem Tank wurde konstant 8 Liter Benzin pro 100 km verbrauchen. Aufgrund des zusatzlichen Gewichts erhoht sich der Verbrauch um 0;001 fur jeden Liter Benzin im Tank. Wie weit kann solch ein Auto maximal fahren, wenn der Tank 80 Liter Benzin fasst? Mit wieviel Litern mussman ein Auto betanken, um 400km zu fahren

ich habe folgende Differentialgleichung aufgestellt:
B'(x)= -αB(x)-b

jedoch jetzt komme ich nicht mehr weiter.

liebe grüße

Answer 1

Hi,
zu (a)
die Dgl. $$ \frac{dB(x)}{dx} = -\alpha B(x) - b $$ ist eine lineare inhomogen Dgl. erster Ordnung. Die Lösung besteht aus der Summe der Lösungen der homogenen Dgl. und einer Lösung der inhomogenen Dgl.
Die Lösung der homogenen Dgl. \( \frac{dB(x)}{dx} = -\alpha B(x) \) ist die Funktion $$ B_H(x) = K \cdot e^{-\alpha x}  $$ mit \(  K \in \mathbb{R} \) ist eine beliebige Konstante. Nachrechnen kann man das durch einsetzten.
Eine Lösung der inhomogenen Dgl. kann man durch den den Ansatz \( B_I(x) = c \) finden, wobei \( c \) eine Konstante ist.
\( B_I(x) \) in die Dgl. eingesetzt ergibt, $$ 0=-\alpha \cdot c - b  $$ Daraus ergibt sich $$  c=-\frac{b}{\alpha} $$
Damit ist die allg. Lösung der Dgl. gegeben durch $$  B(x) = B_H(x) + B_I(x) = K \cdot e^{-\alpha x} - \frac{b}{\alpha} $$
zu (b)
Hier muss man die Konstante \( K \) so bestimmen, dass \( B(0) = B_0 \) ist. Es gilt $$ B(0) = B_0 = K - \frac {b}{\alpha} $$ Also $$ K = B_0 + \frac{b}{\alpha}  $$
Damit ist die Lösung $$ B(x) = B_0 \cdot e^{-\alpha x} + \frac{b}{\alpha} \left(  e^{-\alpha x} - 1 \right)  $$
zu (c)
Hier muss \( x \) aus der Bedingung $$ 0 = B_0 \cdot e^{-\alpha x} + \frac{b}{\alpha} \left(  e^{-\alpha x} - 1 \right)  $$ bestimmt werden.
Daraus ergibt sich \( x \) zu $$ x = -\frac{1}{\alpha} ln \left( \frac{\frac{b}{\alpha}}{B_0 + \frac{b}{\alpha} }  \right)  $$
Vielleicht kannst Du den Rest ja jetzt selber rechnen.