Gleichverteilung auf [0,1], gesucht P(An)

Question

Ist es richtig?

a) P(A_n)=∑_i=1 ^{2^{n-1}} (2i-1 / 2ⁿ - 2i / 2ⁿ ) = 1/2

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Answer 1

$$P(A_n)=P \left( \bigcup_{i=1}^{2^n-1} \left [ \frac{2i-1}{2^n}, \frac{2i}{2^n} \right ] \right)=\sum_{i=1}^{2^n-1}P\left( \left [ \frac{2i-1}{2^n}, \frac{2i}{2^n} \right ] \right)=\sum_{i=1}^{2^n-1} \left( \frac{2i}{2^n}-\frac{2i-1}{2^n} \right)=\sum_{i=1}^{2^n-1}  \frac{1}{2^n} =\frac{1}{2^n} \sum_{i=1}^{2^n-1} 1=\frac{2^n-1}{2^n}$$