Was ist der imaginäre Teil von 1/z?

Question

Hi, nur eine kurze Frage zu den komplexen Zahlen:

Was ist denn der imaginärteil von $$ \frac { 1 }{ z }  $$ ?

Bzw. ist ja $$ Im(\frac { 1 }{ x+iy } ) $$ rauszufinden, aber ich hab keine Ahnung, wie das geht.

Danke für Eure Hilfe!

Answer 1

erweiter den Bruch mit \( \overline{z} \) um den Nenner reell zu machen. Dann kannst du auch den Imaginärteil ermitteln.

Gruß

Comments

Ich komme dann zu folgendem:

$$ Im(\frac { x-iy }{ x²-iy² } ) $$
Wieso ist der Nenner nun reel? Und was davon wäre Real- und was Imaginärteil?

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Das ist falsch. (x+iy)(x-iy) = x^2+y^2

Die Beziehung \( z \cdot \overline{z} = |z| \) sollte bekannt sein.

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Stimmt, hab ich nicht dran gedacht. Vielen dank dafür!

Zusammengefasst habe ich dann 
$$ Im(\frac { x-iy }{ x²-y² } ) $$
Ist davon der Imaginärteil -y² oder hat sich schon wieder ein Denkfehler eingeschlichen?

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Nenner ist immer noch falsch. Außerdem kann man einen Bruch dieser Form in 2 Brüche aufteilen.

(a+ib)/c = a/c + b/c * i wobei a,b,c reelle Zahlen.

Dann den Imaginärwert ablesen (Tipp: der Vorfaktor vor i).

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Jetzt hab ichs!

$$ Im(\frac { x-iy }{ x²+y² } )\quad =\quad Im(\frac { x }{ x²+y² } -\frac { y }{ x²+y² } *i)\quad =\quad -\frac { y }{ x²+y² }  $$

Wobei Letztes der endgültige Imaginärteil ist. Ist das so korrekt?

Vielen dank für Ihre Hilfe.

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Jap sieht gut aus :) Gerne.

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Zitat: Die Beziehung \( z \cdot \overline{z} = |z| \) sollte bekannt sein. 

Nicht ganz...

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Ja die Beziehung sollte lieber ganz schnell ausgeblendet werden :D

Berichtigung \( z \cdot \overline{z} = |z|^2 \)

Danke fürs aufmerksame Mitlesen :)

Answer 2

Andere Möglichkeit:
$$ \text{Im}\left(\frac{1}{z}\right) = \frac { \overline{z}-z }{ 2 \overline{z} z } $$