Auf einer Kurve Punkte bestimmen, in denen Steigung der Kurve bestimmtem Wert entspricht

Question

Bestimmen sie auf der Kurve 

$$ y = \frac { 1 }{ 3 }x^3-x^2+x+5 $$diejenigen Punkte in denen die Steigung der Kurve 

a) 0

b) 4

c) -1

ist.

Die Steigung in den gesuchten Punkten entspricht ja gerade der Tangentensteigung in den besagten Punkten. Daher dachte ich, ich bestimme zuerst die Ableitung der Funktion:

$$ y'=x^2-2x+1 $$

Doch nun weiss ich nicht weiter. Denn in die abgeleitete Funktion kann ich schlecht die Steigungen einsetzen.

Answer 1

hast Du doch richtig gemacht!

y' = f'(x) = x² - 2x + 1

a)

x² - 2x + 1 = 0 | pq-Formel

x_1,2 = 1 ± √0 = 1

Der gesuchte Punkt lautet hier

(1|f(1)) = (1|1/3 * 1³ - 1² + 1 + 5) = (1|16/3)

b)

x² - 2x + 1 = 4 | - 4

x² - 2x - 3 = 0

und wieder pq-Formel und die gefundene(n) Stelle(n) in die Ursprungsfunktion einsetzen, um den Punkt/die Punkte mit der Steigung 4 zu finden.

c)

analog

Besten Gruß

Comments

Also so einfach. o.O Und ich denk' wieder mal zu weit. -_- 

Danke Brucybabe! 

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Sehr gern geschehen :-)

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Eine Frage stellt sich mir dann aber doch: Wir setzen also die gegebene Steigung als y-Variable in die Ableitung ein und berechnen dann die x-Werte. Heisst das, wir behandeln die Steigung als y-Variable? 

Und dann nehmen wir den x-Wert aus der Ableitung und setzen ihn in die Ursprungsfunktion ein. 

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Die 1. Ableitung

f'(x) = x² - 2x + 1 

gibt ja gerade die Steigung der Funktion

f(x) = 1/3 * x³ - x² + x + 5

an jeder beliebigen Stelle x bzw. in jedem beliebigen Punkt (x|f(x)) an. 

Wir berechnen also mittels f'(x) zunächst, an welcher Stelle x die Ursprungsfunktion f(x) die gesuchte Steigung hat.

Da wir aber nicht nur die Stelle x wissen wollen, sondern auch das entsprechende y = f(x) und damit beide Koordinaten des Punktes, müssen wir jeweils das gefundene x noch in die Ursprungsfunktion einsetzen, um den y-Wert zu finden. 

Kann man sich vielleicht an einem einfachen Beispiel 

f(x) = x², f'(x) = 2x

klar machen:

Wenn Du wissen willst, an welcher Stelle f(x) = x² die Steigung 2 hat, schaust Du auf die Ableitung und siehst, dass diese an der Stelle 1 den Wert 2 hat; also x = 1. Nun brauchen wir aber auch noch y, setzen also x = 1 in

f(x) ein: f(1) = 1² = 1.

Der Punkt auf f(x) = x² mit der Steigung 2 lautet also (1|1).

Klaro?

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Sehr klaro! 

Herzlichen Dank für Deine Mühe! 

(: 

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Prima - freut mich, wenn ich helfen konnte :-)