funktionsscharen mit Extrempunkten

Question

wie geht das ?

Gegeben ist die Funktion f(x)= (x² - t)e^x

Für welchen Wert von t das das Schaubild keinen, einen oder zwei Extrempunkte ?

Für welches T liegt der Wendepunkt auf der y-Achsen und für welches t auch der x-Achse?

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f(x)= (x² - t)e^x

Für welchen Wert von t das das Schaubild keinen, einen oder zwei Extrempunkte ?

f ( x ) = ( x^2 - t ) * e^x
f ´( x ) = 2x * e^x + ( x^2 - t ) * e^x
f ´( x ) = e^x * ( x^2 + 2x - t )
Punkte mit waagerechter Tangente
e^x * ( x^2 + 2x - t ) = 0
Die e-Funktion ist immer > 0. Also
x^2 + 2x - t = 0
x^2 + 2x + 1^2 = t + 1
( x + 1 )^2 = t + 1
x + 1 = ±√ ( t + 1 )
Falls t + 1 < 0 ist kann keine Wurzel gezogen werden = kein Extrempunkt
Falls t + 1 = 0 dann ist t = -1 und es gibt √ 0 = 0 nur einen Extremwert
Andernfalls t + 1 > 0 ist t > -1 und es gibt 2 Extremwerte.
Wobei noch zu zeigen wäre das es sich bei den Punkten mit waagerechter
Tangente um Extremwerte handelt. ( 2.Ableitung bilden )

Für welches T liegt der Wendepunkt auf der y-Achsen und für welches t auch der x-Achse?

f ´( x ) = e^x * ( x^2 + 2x - t )
f ´´ ( x ) = e^x * ( x^2 + 2x - t ) + e^x * ( 2x + 2 )
f ´´ ( x ) = e^x * ( x^2 + 2x - t + 2x + 2 )
f ´´ ( x ) = e^x * ( x^2 + 4x - t + 2 )

Wendepunkt
( x^2 + 4x - t + 2 ) = 0
x^2 + 4x + 2^2 = t - 2 + 2^2
( x + 2 )^2 = t + 2
x + 2 = ±√ ( t + 2 )
x = ±√ ( t + 2 ) - 2

Schnittpunkt mit der y - Achse : x = 0
±√ ( t + 2 ) - 2 = 0
±√ ( t + 2 ) = 2
Da der Wurzelwert stets positiv ist entfällt die negativ-Lösung
√ ( t + 2 ) = 2
t + 2 = 2^2
t = 2

Schnittpunkt mit der x - Achse : y = 0
f ( ±√ ( t + 2 ) - 2 ) = 0
t = 1/4

Beim letzten Schritt habe ich ein Mathematikprogramm genutzt.
Ich hatte keine Lust mehr.

Bin bei Bedarf noch weiter behilflich.

Answer 2

Für die Extremwerte setzt Du doch f'(x)=0. Behandle das t beim Ableiten (Produktregel) wie eine ganz normale Zahl, die Variable ist x!

Die Ableitung sollte ein Produkt einer quadratischen Funktion mit der e-Funktion sein. Für die Nullstellen musst Du also diese quadr. Funktion zu null setzen. Das machst Du mit der pq-Formel. Darin findet sich ja ein Wurzelausdruck. Dieser sollte t enthalten. Du musst jetzt ermitteln, für welches t dieser Ausdruck unter der Wurzel gleich Null wird. Für dieses t hat f'(x)=0 dann genau eine Lösung. Ist t kleiner diesem Wert, dann hat sie keine Lösung und für t größer diesem Wert entsprechend zwei.

Wendepunkte ermittelst Du auf ähnliche Art mit f''(x)=0. Die Lösungen die Du dabei bekommst sind Koordinaten von x (es sollte auch hier ein Term entstehen, der t enthält). Damit der Wende Punkt auf der y-Achse liegt, muss diese x-Koordinate ja aber 0 sein. Das heißt Du musst den Lösungsausdruck der Wendepunkte gleich null setzen und nach t frei stellen.

Damit der Wendepunkt auf der x-Achse liegt, muss f(x_Wendepunkt)=0 gelten. Das heißt, Du setzt die ermittelten Wendepunktlösungen in voller Länge in f überall dort ein, wo ein x steht, setzt dann den so gewonnenen Ausdruck gleich 0 und löst für t.