Basis von im(A) wenn det(A)=0 und A abhängig von x.

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Bestimmen Sie durch Berechnung der Determinante det(A) für welche x ∈ R die Matrix

invertierbar ist. Bestimmen Sie eine Basis von im(A), falls det(A) = 0.

Die Matrix lautet:

-x+1   -x+1   x-1

-2x²   5x²    -2x²

2x+2  -3x-3  x+1

Die Determinante habe ich bereits berechnet:

det(A) = -x⁴+x²

also ist die Determinante für x=0/1/-1  gleich 0.

Ich verstehe nur nicht wie ich jetzt auf die Basis des Bildes komme, da ich ja drei verschiedene x zur Auswahl habe...

Answer 1

Da musst du halt eine Fallunterscheidung machen, etwa so
für x=0 ist eine Basis von Im(A) :     (1,0,2) und (-1,0,1) [als Spalte geschrieben]
für x=1   ist es (0,-2,4) und (0,-2,2)
für x=-1         (2,-2,0) und (-2,-2,0)

Comments

Achso okay, vielen Dank für die schnelle Antwort!

---

Hallo mathef,

kannst du eventuell kurz erklären, die du darauf gekommen bist?

MfG

---

Schreib dir doch einfach mal die Matrix für jeden der Fälle hin.

Im(A) ist ja der von den 3 Spalten erzeugte Vektorraum. Man sieht, dass

eine Zeile immer aus Nullen besteht, also ist der höchstens 2-dimensional.

Dann einfach 2 lin. unabh. Spalten und du hast eine Basis.