Darstellungsmatrix bestimmen und die Basen von Kern und Bild

Question

Aufgabe

Es bezeichne  \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abildung
\( f\left( \begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \\ {x_{4}}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}{x_{1}-2 x_{2}} \\ {-2 x_{1}+4 x_{2}-x_{3}} \\ {2 x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}}\end{array}\right) \)

1. Darstellungsmatrix der Abbildung f bezüglich der Standardbasen des ℝ⁴ bzw. ℝ³ bestimmen

2. Bestimmen Sie die Basen von Kern (f) und Bild (f) und verifizieren Sie die Gültigkeit der Dimensionsformel für die Abbildung f.

Für eine Lösungshilfe wäre ich sehr dankbar.

Frohe Weihnachten euch allen

Answer 1

1        -2          0          0

-2        4          -1          0

2        -1         -1           -1

für Kern

Matrix * Spalte(x1,x2,x32,x4)=0 lösen (Stufenform) gibt

1          -2     1/2      0

0          1      -2/3      -1/3

0          0        1         0    

also mit x4=t   gibt es  x3=0 

x2 = (1/3)t      x1= (2/3)t   

also x = t*(  2/3    1/3     0     1)  also ist (  2/3    1/3     0     1) eine Basis

für den Kern.

und die ersten drei Spalten der Stufenform eine Basis für das Bild.