Punktweise und gleichmässige Konvergenz von Funktionenfolgen

Question

Aufgabe:

a)

\( f_{n}(x):=\left\{\begin{array}{cc} x-n+1, & x \in[n-1, n] \\ -x+n+1, & x \in] n, n+1] \\ 0, & x \in R /[n-1, n+1] \end{array}\right. \)

mit \( n \in N \)

Ich muss zeigen dass \( \left\{f_{n}\right\} \) punktweise auf \( R \) punktweise gegen die Nullfunktion kovergiert, aber nicht gleichmässig.

b)

\( g_{n}(x)=\frac{1}{1+\frac{x}{n}} \)

Hier muss ich zeigen dass \( \left\{g_{n}\right\} \) gleichmässig auf \( [0,1] \) konvergiert also gegen welche Grenzfunktion

Answer 1

zu (a)
punktweise Konvergenz bedeutet, für alle \( x \in \mathbb{R} \) und für alle \( \epsilon > 0 \) ex. ein \( N \in \mathbb{N} \) s.d. für alle \( n \ge N \) gilt \( \left| f_n(x) \right| < \epsilon \)

Sei \( m \in \mathbb{N} \) die größte natürliche Zahl mit \( m \le x < m+1 \)

Wähle \( N = m+2 \)

Es gilt \( f_N(x)=0 \) für \( x \le N-1 = m+1 \)

Auf Grund der Wahl von \( m \) gilt diese Ungleichung, d.h. \( f_N(x) = 0 \) und somit \( \left| f_n(x) \right| < \epsilon \) für alle \(  n \ge N \)
Damit ist \( f_n(x) \) punktweise konvergent.

Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, es muss gelten \( \lim_{n\to\infty} sup_{x \in \mathbb{R}} \left| f_n(x) \right| = 0 \)

Wähle \( \epsilon = \frac{1}{2} \)

Es gilt \( sup_{x \in \mathbb{R}} \left| f_n(x) \right| = 1  \)

Damit ist die Funktionsfolge nicht gleichmäßig konvergent.