Totalordnung / Wohlordnung. M := ZxZ. (x,y) K (x',y') <==> x < y' OR (x = x' AND y ≤ y')

Question

\( M:=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) hat die Relation \( \preceq \) die durch \( (x, y) \preceq\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \Leftrightarrow x<y^{\prime} \vee\left(x=x^{\prime} \wedge y \leq y^{\prime}\right) \) gegeben ist.

z.z.: Totalordnung. Insbesondere Wohlordnung?

Wie mach ich das?

Answer 1

einfach alle Eigenschaften prüfen, für Totalordnung also:
(ich schreibe mal K für deine Ordnung)
(x,y) K (x',y')  bedeutet  x<y'   oder (  x=x'  und  y <=y')
reflexiv:   also gilt für jedes Paar (x,y) tatsächlich   (x,y) K( x,y) 
also   x<y   oder (  x=x  und  y <=y)
das in der Klammer stimmt, also reflexiv.
antisymm.:   ....
transitiv: seien (a,b), (c,d) und (e,f) aus Z^2 und
(a,b) K  (c,d)  und (c,d) K (e,f)  dann ist zu zeigen (a,b) K (e,f)
muss man aus der Def. herleiten
total:  Für alle Paare (a,b) und (c,d) gilt (a,b) K (c,d)  oder umgekehrt.