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Aufgabe 4-5 [Schriftliche Ausarbeitung] Sei \( S \) eine durch \( \leq \) total geordnete Menge. Beweisen Sie detailliert (mit genauen Begründungen und sauberen Formulierungen), dass \( \leq \) eine Wohlordnung auf \( S \) bildet, falls jede nichtleere Teilmenge \( T \subseteq S \) ein minimales Element hat.

Problem/Ansatz:




Ich bin hier leider etwas ratlos und zerbreche mir hier schon die ganze Zeit den Kopf und daher die Frage:

Wie kann ich denn hier genau beweisen, dass die Teilmenge von S ein minimales Element?

Wäre wirklich um jede Hilfe dankbar!







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Hallo,

wie habt Ihr denn "Wohlordnung" definiert?

Gruß Mathhilf

Naja, der Professor macht die Definitionen gerne auf Englisch, also
wir definieren eine Wohlordnung so:

A total order ≼ on a set S forms a well-order if every non-empty subset of S has
a least element.

Deutsch:
Eine Wohlordnung ist eine Totalordnung, die ein kleinstes Element besitzt.

und ein minimales Element ist - im Gegensatz zu einem kleinsten - eines, zu dem es kein kleineres in T gibt - oder? Dann wäre also ein kleinstes auf jeden Fall auch ein minimales.

Genau, damit habe ich mich auch schon vertraut gemacht. Nun bleibt nur noch die Frage, wie kann man sowas genau beweisen? Induktion ist wohl eher nicht wirklich möglich, oder?  :-)

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

nach meinem Erkenntnisstand: Sei \(T \sube S\).

Wenn T ein kleinstes Element k hat, dann gilt \(\forall t \in T: k \leq t\). Dann ist k auch ein minimales Element. Denn sonst gäbe es \(m \in T, m <k\). Dann wäre also \(m<k\leq m\). Das ist ein Widerspruch zur Antisymmetrie.

wenn T ein minimales Element m hat, dann ist das auch das kleinste. Sei dazu \(t \in T\), dann gilt: \(t \leq m\) oder \(m \leq t\) (Totalordnung). Aber \(t<m\) kann nicht sein, weil m minimal ist. Also folgt \(m \leq t\)

Gruß Mathhilf

Avatar von 13 k

Oh, Du hast Dir sogar extra nochmals Gedanken darüber gemacht.
Vielen vielen Dank für Deine Hilfe und Deine Bemühungen!!! ☺

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