Vektoren: Punkte auf der Geraden g, die von A(3,1,4) den Abstand 3 haben?

Question

Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \) welche von \( \mathrm{A}(3|1| 4) \) die Entfernung 3 LE haben.

Answer 1

Abstand der Punkte A(3,1,4) und P(1+2t, t, 2 +2t) ist

d = √ ( (3 - (1+2t))^2 + (1 - t)^2 + (4 - (2+2t))^2 )

3 = √ ( (3 - (1+2t))^2 + (1 - t)^2 + (4 - (2+2t))^2 ) 

9 =  ( (3 - (1+2t))^2 + (1 - t)^2 + (4 - (2+2t))^2 ) 

Jetzt nur noch schön die Klammern auflösen und die quadratische Gleichung lösen.

Die beiden gefundenen t danach bei P einsetzen.

Zur Kontrolle (ohne Gewähr): Ich komme auf t₁ = 0 und t₂ = 2

P(1+2t, t, 2 +2t)

P₁(1, 0, 2) und P₂(5, 2, 6)

AP1 = √(2^2 + 1^2 + 2^2) = 3

AP2 = √(2^2 + 1^2 + 2^2) = 3. ok.

Answer 2

Den Abstand von 2 Punkten C und D berechnest du mit Betrag(C-D). Vobei der Betrag hier die Länge des Vektors E=C-D angibt.  ( Wurzel des Skalarprodukts mit sich selber )

Nehme doch mal C als beliebigen Punkt auf der Graden und D ist der gegebene Punkt A.

Setze : Betrag(C-D) = 3 .

Löse das dann einfach nach t auf und setze die Lösungen für t dann in die Gradengleichung ein. Dann hast du die Punkte