Lineare Algebra - Laplace. Zeigen, dass det (M) = (a^2 + b^2 +1 )^2

Question

Hallo Mathefreunde!

Ich sitze vor einer Aufgabe welche mir Probleme bereitet..leider viel zu spät aufgrund der Weihnachtsfeiertage - jedoch ist morgen Abgabe dieser Aufgabe und diese zählt als Studienleistung =(

Ich weiß, nächstes mal früher anfangen..

hier ist die Aufgabe :

Zeigen sie mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes, dass für die Matrix 

M =

0	1	a	-b
-1	0	b	a
a	b	0	1
-b	a	-1	0

a,b Element von R

die Gleichung det (M) = (a² + b² +1 ) ² gilt. 

Für welches a bzw. b wird die Determinante null? 

Eigene Ideen:

Ich habe die Matrix erstmal verkleinert mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz, ich habe die Zeile a11-14 genommen, da in jeder Zeile die 2 Unbekannten a,b sowie eine 0 vorhanden sind.

daraus bekomme ich wiederrum 4 Unterdeterminanten (0,-1,a,-b) - die 0 lasse ich weg, da die Udet. sowieso 0 ergibt :

-1*

-1	+(-b)	-(+a)
+a	-0	+1
-(.b)	+(-1)	-0

+ a*

-1	0	-a
+a	-b	+1
-b	+a	-0

- b*

-1	+0	-b
+a	-b	+0
-b	+a	-1

Ist das so korrekt? Wie rechne ich weiter? Muss ich die Unterdeterminanten nun nochmals verkleinern ? In der Aufgabenstellung steht nichts von Sarrus.. Ich blicke absolut nicht mehr durch :( 

Ich hoffe jemand kann mir helfen!

Liebe Grüße

Comments

det (M) = (a² + b² +1 ) ²

^{"Für welches a bzw. b wird die Determinante null? "}

^{Wenn a und b reelle Zahlen sind, kann die Determinante nie 0 werden, da in der Klammer keine Zahl stehen kann, die kleiner als 1 ist.}

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Was ist dann die Lösung ? Nicht lösbar ? 

die Frage richtet sich doch an die Matrix oben .. ich weiß nicht wie ich das beantworten soll :( 

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^{"Wenn a und b reelle Zahlen sind, kann die Determinante nie 0 werden, da in der Klammer keine Zahl stehen kann, die kleiner als 1 ist."}

Für kein (a,b) Element R^2 ist die Determinante der Matrix 0.

EDiIT: Warum die Schrift nicht grösser ist, weiss ich nicht. Hoffe, du kannst etwas erkennen.

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Hi, vielleicht solltest Du die Anwendung des Entwicklungssatzes ein wenig vorbereiten, indem Du dafür sorgst, dass in einer Zeile oder Spalte nur noch ein von Null verschiedener Eintrag vorkommt. Das dürfte den Rechenaufwand deutlich verringern!

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Inwiefern vorbereiten? ich verstehe absolut nicht was ich tun muss.. ich habe doch bereits vorbereitet indem ich die Unterdeterminanten erstellt habe, oder nicht? 

@Lu: ich soll überlegen für welches a,b element von R die Determinante 0 WIRD, nicht welches sie IST :) 

nur wie soll ich das "zeigen" ? "Zeigen Sie mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes, dass für die Matrix ... " ? Ich verzweifle noch!!!

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Wie Du die Matrix vorbereiten könntest, habe ich doch beschrieben. Wenn Du so weitermachen willst, wie Du angefangen hast, wird es auch gehen. Dann würde ich jetzt allerdings die Regel von Sarrus nehmen.

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Da war ja mein Problem! Ich habe angefangen mit der 1. Zeile von a11-14  - es blieben also die 0, 1, a, -b stehen. 

daraus ergeben sich wieder 3 unterdeterminanten mit jeweils einer 3x3 Matrix - mache ich nun wieder 2 Unterdeterminanten mit 2x2 ? Aufgabenstellung erlaubt nur das laplacesche.. 

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Du musst natürlich selbst wissen, wie viel Arbeit Du in diese Rechnung reinstecken möchtest. Willst Du ausschließlich den Entwicklungssatz benutzen, wird es vier Arbeit sein...

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ich will nicht, ich muss :D - habe es dennoch mal mit Sarrus versucht, also meine 3 Unterdeterminanten (-1, +a, +b) und deren 3x3 Matrix aufgelöst, zusammengefasst .. 

nur komme absolut nicht auf das Ergebnis det (M) = (a² + b² +1)² =( 

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hh021: Multipliziere alles aus (auch das Ziel der Umformung:

(a^2 + b^2 + 1)^2 = a^4 + b^4 + 1 + 2a^2 b^2 + 2a^2 + 2b^2