Ich steh bei einer Aufgabe zur Gedächtnislosigkeit auf dem Schlauch.
Aufgabe:
Eine faire Münze (die mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/2 "Kopf" wie "Zahl" zeigt) wird solange unabhängig geworfen, bis schließlich im X-ten Wurf "Zahl erscheint.
Es seien k,n ∈ N0. Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit P[X>k+n | X>k] dafür, dass die Münze auch in den nächsten n Versuchen nur Kopf zeigt, wenn sie bereits in den ersten k Versuchen nur Kopf gezeigt hat.
Ich weiß ja was rauskommen muss.. P[X>k+n | X>k] = P(X>n)
Jetzt wollt ich es beweisen und irgendwie passt es nicht ganz zusammen.
Erstmal: P[X>k+n | X>k] = P(X>k+n,X>k)/P(X>k) = P(X>k+n)/P(X>k)
Es gilt: P(X=k)=(1-1/2)k*(1/2)= (1/2)k+1
Es gilt ebenso: P(X>k)=1-P(X≤k)=1-[(1/2)+(1/2)2+....+(1/2)k+1]= 1 - (1/2)*(∑ki=0 (1/2)i)
mit der endlichen geometrischen Reihe erhalte ich
P(X>k)=1-(1/2)*[((1/2)k+1-1)/(-1/2))] = 1 + (1/2)k+1-1 = (1/2)k+1
Und analog P(X>k+n)=(1/2)k+n+1
Nach Division P(X>k+n)/P(X>k) = (1/2)k+n+1/(1/2)k+1 = (1/2)n dies ist jedoch ungleich P(X>n)=(1/2)n+1
