Funktionen mit mehreren Variablen: f(x,y) = x+y+1. Schnittkurven mit den Koordinatenebenen.

Question

Ich beschäftige mich zurzeit mit folgender Aufgabenstellung:

Gegeben sei die Funktion f(x,y)=x+y+1

z=f(x,y), z ist der Abstand eines Punktes (x,y) der Ebene, die von den x-y-Achsen aufgespannt wird?

1) Bestimmen Sie die Schnittkurven mit den Koordinatenachsen:

(Das ist ähnlich wie in 2d ; in 2d werden keine Schnittkurven bestimmt, sondern Schnittstellen??

demnach einfach einzelne Variablen = 0 setzen:

für x=0 ergibt sich z=0+y+1=y+1

für y=0 ergibt sich z=x+0+1=x+1

für z=0 ergibt sich 0=x+y+1

soweit richtig?

2) Skizzieren Sie die Niveaulinien (sind das die Höhenlinien):

habe in meiner Formelsammlung/Skript folgendes hierzu gefunden:

f(x,y)= const. = c  (1)

c sind ja dann reelle Zahlen, die ich nach und nach einsetze:

aus (1) erhalte ich dann folgende (Geraden-) Gleichung:

f(x,y)=x+y+1=c

y=-x-1+c

in meinen Lösungen aber steht folgendes:

Niveaulinien:        x+y=c => z=c+1 (was mir bis jetzt noch irgendwie nicht verständlich erscheint)

Wäre nett, wenn mir das einer mal erklären könnte =D

Danke und bis später ,-D

Answer 1

Gegeben sei die Funktion f(x,y)=x+y+1

z=f(x,y), z ist der Abstand eines Punktes (x,y) der Ebene, die von den x-y-Achsen aufgespannt wird?

1) Bestimmen Sie die Schnittkurven mit den Koordinatenebenen (???) :

(Das ist ähnlich wie in 2d ; in 2d werden keine Schnittkurven bestimmt, sondern Schnittstellen??

demnach einfach einzelne Variablen = 0 setzen:

für x=0 ergibt sich z=0+y+1=y+1.  y - z + 1=0 und x=0

für y=0 ergibt sich z=x+0+1=x+1.  x- z+1 = 0 und y=0

für z=0 ergibt sich 0=x+y+1 und z=0

soweit richtig?

Ja. Du könntest in R^3 noch Parametergleichungen draus machen. Einfach so sind das projizierende Ebenen.

2) Skizzieren Sie die Niveaulinien (sind das die Höhenlinien ja):

habe in meiner Formelsammlung/Skript folgendes hierzu gefunden:

f(x,y)= const. = c  (1)

c sind ja dann reelle Zahlen, die ich nach und nach einsetze:

aus (1) erhalte ich dann folgende (Geraden-) Gleichung:

f(x,y)=x+y+1=c  = z

y=-x-1+c

in meinen Lösungen aber steht folgendes:

Niveaulinien:        x+y=c => z=c+1 (was mir bis jetzt noch irgendwie nicht verständlich erscheint)

Hier wird ein anderes c verwenden. Ich nenne es mal d. Scheint mir aber unnötig kompliziert zu sein.

z = x+y + 1 = c

x + y = c-1 = d

z = c = d+1

Wäre nett, wenn mir das einer mal erklären könnte =D

Comments

Vielen Dank Lu.

Richtig, ich meinte die Koordinatenebenen. Das mit den Niveaulinien habe ich nun auch verstanden, zumindest bei dieser Aufgabe ,-D

c=x+y+1 =>     y=-x-1+c        | für c=0           ist y=-x-1

| für c=1           ist y=-x

| usw.

Ich hätte aber hier noch eine Frage zu einer anderen Funktion, es geht wieder um die Bestimmung der Gleichung für die Höhenlinien - und die Schnittkurven mit den Koordinatenebenen:

Gegeben sei die Funktion f(x,y)=x²+y²+2xy

x=0              z=y²

y=0              z=x²

z=0              0=x²+y²+2xy

(laut Lösung ist z=0      x = -y ) keine Ahnung warum?

Zu den Niveaulinien:

z=f(x,y)=c

x²+y²+2xy=(x+y)²=0 | √

x+y=c       y=-x+c         für c=o, für c=1 usw... kann man das so lassen?

Danke für die (weiteren) hilfreichen Antworten

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z=0              0=x²+y²+2xy        

Das ist ein Binom!

z = 0 und ( 0 = (x+y)^2 oder 0 = x+y oder y = -x )

Niveaulinien: 

z=f(x,y)=c

x²+y²+2xy=(x+y)²=c | 

c kann nicht kleiner als 0 sein. Daher gleich c^2 schreiben

x²+y²+2xy=(x+y)²=c^2 | Wurzel

x + y = ± c