Question

Sei I ⊂ R offen und f : I → R in x0 ∈ I differenzierbar.

 i)  Z.z ist dass lim h→0  f(x0+h)−f(x0−h)/2h existiert und mit f'(x0) übereinstimmt und ob hier auf die Differenzierbarkeit von f in x0 verzichtet werden kann. Zudem soll ich herausfinden ob aus der Existenz des Grenzwertes die Differenzierbarkeit  von f in x0 folgt.

ii)

Z.z. dass es eine Konstante K gibt, so dass fur alle x in einer Umgebung von x0 die Abschätzung

|f(x) − f(x0)| ≤ K|x − x0| gilt.

Lg

Answer 1

zu i. ) Da schau ich nochmal, ich glaube man kann da auch einen Ansatz mit dem Differenzenquotienten benutzen. Zur Differentierbarkeit : Wenn f in x0 nicht differentierbar wäre, so gäbe es kein f'(x0) mit dem dein Term übereinstimmen kann.

bei ii )

Diese Konstante wird auch Lipschitz konstante genant.

Diese lässt sich durch den Differenzenquotienten herleiten:

lim x-> x0   (f(x0 ) -f(x) ) / (x0 -x)   =  f'(x)

Wählt man sich jetzt x in eine Umgebung von x0 ( wie in der Aufgabenstellung genannt ) , kann man den Limes weglassen.  Und man erhält :

(f(x0 ) -f(x) ) / (x0 -x)   =  f'(x)

Der Rest ist jetzt einfach nur umformen, sollte machbar sein für dich :)

Comments

Mit \(f'(x)\) meinst du wohl \(f'(x_0)\). Aber einen Limes kann man nicht einfach so weglassen.

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Ah danke, ja ich meine f'(x0) .

Kannst mir auf die Sprünge helfen?

lim x-> x0   (f(x0 ) -f(x) ) / (x0 -x)   =  f'(x0)

Welchen Schritt geh ich von hier?