Question

Klassifizieren Sie folgende Kurve zweiten Grades mittels Hauptachsentransformation.

x²-2xy+y²=16

Kann mir hier bitte jemand bei diesem Beispiel helfen?

Wann bin ich eigentlich fertig? Nachdem ich aus den Eigenvektoren die Transformationsmatrix gebildet habe oder gehts dann noch weiter?

Bin um jede Hilfe dankbar =)

Answer 1

x²-2xy+y²=16
Erst mal mit Matrix schreiben
1      -1
-1      1    ist die Matrix A
also
(x,y) * A * (x,y)^t  - 16 = 0
Eigenwerte: 0 und 2 .
mit Eigenvektoren für 0 (1;1)^t
 und für 2  ((1;-1) .
Also Tranformationsmatrix T = 1/ wurzel(2) * S mit S =
1        1
1        -1

und die Diagonalmatrix war ja D=
0      0
0      2
gibt für den Kegelschnitt nach der Transformation
( x, y ) * D * (x,y)^t - 16 = 0
2 y^2 - 16 = 0
also
             y^2 = 16
Das sind also die beiden parallelen Geraden
y= ± 4.

Das es der entartete Kegelschnitt bestehend aus zwei Geraden
ist, hätte man auch sofort gesehen

die gegebene Gleichung kannst du auch als (x-y)^2 = 16 schreiben, also
x-y=4   oder x-y = -4
y = x-4   oder  y = x+4
und bei der Transformation werden die um 45° um den Nullpunkt gedreht
und es wird daraus y= ± 4.

Comments

Ok, Eigenwerte, dann die Eigenvektoren und dann die Diagonalmatrix berechnen klappt aber dann fehlt mir das Verständnis, um den unteren Teil zu berechnen.

Kannst du mir bitte bitte den unteren Teil nochmal erklären?

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Bis Diagonalmatrix ist alles klar ?

Dann sagt die Theorie: Der transformierte Kegelschnitt

hat die Gleichung:

( x, y ) * D * (x,y)^t - 16 = 0

und das ausgerechnet ist
2 y² - 16 = 0

oder eben umgeformt:              y² = 16

Also besteht der Kegelschnitt aus allen Punkten (x/y), für die gilt    y² = 16 .

Also sind die x-Werte ganz egal, es muss nur   y= ± 4 sein.

Das sind also die beiden parallelen Geraden
y= ± 4.

Was ich danach geschrieben habe, sollte nur so eine Art

Probe sein, die zeigt, dass das Erg. stimmt.

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ok, nun ist es schon mehr klar aber wie genau rechne ich (x,y)*D*(x,y)^t-16=0 aus?

Wenn 2y²-16=0   sollte dann nicht 2y²=16 und dann y²=8 sein

Ich weiß dass die Lösung stimmt, nur verrechne ich mich noch.

Danke vielmals für die tolle Hilfe.

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Wenn 2y²-16=0   sollte dann nicht 2y²=16 und dann y²=8 sein

Da hast du natürlich recht, es gibt aber trotzdem 2 Geraden nur

eben y = ± wurzel(8).

zu:   (x,y)*D*(x,y)^t-16=0

erst mal die Zeile (x,y ) * D gibt

die Zeile    ( 0  ,  2y ) und das mal die Spalte (x,y )

[ deshalb hatte ich (x,y)^t geschrieben]

gibt  o*x  + 2y * y  =  2y^2

und die -16 stand ja eh dahinter.

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ok, danke

Kannst du mir noch kurz Zeigen wie ich ( x, y ) * D * (x,y)^t - 16 = 0  Schrittweise ausrechne?

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erst mal die Zeile (x,y ) * D gibt

die Zeile    ( 0  ,  2y )

und das mal die Spalte (x,y )

[ deshalb hatte ich (x,y)^t geschrieben]

gibt  o*x  + 2y * y  =  2y²

und die -16 stand ja eh dahinter.

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ok, hab ich nun

Jetzt hänge ich nur noch bei 2y^2=16

und wie Erkenne ich was es darstellt?

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2y² = 16   ioder wie du ja schon sagtest y^2 = 8

Also besteht der Kegelschnitt aus allen Punkten (x/y), für die gilt    y² = 8 .

Also sind die x-Werte ganz egal, es muss nur   y^2 = 8 sein.

Und dazu muss y = ± wurzel (8) sein.

Und wenn du dir viele Punkte mit y = wurzel (8) mal in ein Koordinatensystem

zeichnest, also erst mal vielleicht

(1 ; wurzel (8)) dann mal (2 ; wurzel (8)) und (3; wurzel (8)) oder auch ( - 1 ; wurzel (8))

siehst du ein: Die liegen alle auf einer Geraden, ,man sagt auf der

Geraden mit der Gleichung y = wurzel (8).

Das Gleiche dann für - wurzel (8)und du siehst ein: Das sind 2 Geraden.

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Ok, das verstehe ich, jedoch am Anfang hast du als Ergebnis geschrieben y sei y=+-4 weil ja

(x-y)^2=16