Partielle Ableitung von ℝn → ℝ

Question

Aufgabe:

Partielle Ableitung von ℝⁿ → ℝ für:

c) $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=e^{a \cdot x},\left(\right.$ für $\left.a \in \mathbb{R}^{n}\right)$,

d) $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}}$

e) $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $h(x)=|x|^{r}$ (für $\left.r \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\right)$

Answer 1

Zu c)
a*x ist ja ein Skalarprodukt in der Form:

a1*x¹+a2*x2+....+an*xn

Jetzt leiten wir nach einzeln nach x1,x2,x3...xn ab:
df/dx1 = a1*x1 *e^a*x

df/dx2 = a2*x2*e^a*x

...

df/dxn = an*xn*e^a*x

Genau so machst du das bei d und e auch.

Bei d hast du ja wieder eine Verkettung, von der Wurzelfunktion und einer einfachen Summe.

Bei e kommt dann noch eine Verkettung dazu.

Comments

Wäre meine Lösung bei d) dann:

1/2*(x₁² + ... + x_n²)*(2x₁ + ... + 2x_n) ?

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Erstmal die Ableitung der Wurzel einer Wurzel :
f(x) = Wurzel (x) = x^{1/2}
f'(x) = 1/2 * x^{-1/2}

Ich dachte du weißt wie partielle Ableitungen funktionieren?
Du hast doch für n verschiedene Variablen auch n verschiedene Partielle Ableitungen, genau so wie ich es bei der c) geschrieben habe.
Du leitest also jeweils nur nach einer der Variablen ab.

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Ja, ok, das ist mir dann  nach meinem Beitrag auch aufgefallen.

Also:

für x1: 1/2*(x₁² + ... + x_n²)^-1/2 *(2x₁ + ... + 2(n-1))

für x2: 1/2*(x₁² + ... + x_n²)^-1/2 *(2x₂ + ... + 2(n-1))

......

für xn: 1/2*(x₁°2 + ... + x_n²)^-1/2 *(2x_n + ... + 2(n-1))

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Deine äußere Ableitung ist schon richtig.

Bei der inneren gibt es noch Probleme.

Mal ein Beispiel. Sei g(x,y) = 2x+5y²

Jetzt leitest du nach x ab und erhältst:

dg/dx = 2

5y² ist hier als Konstante angesehen und wurde komplett weggelassen.

Sieht du deinen Fehler selbst?

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Ach klar! Das hätte bei mir wegfallen müssen, mich hat das x irritiert ...

Supi, danke dir! :)

Ich hätte da noch eine Frage:

Wenn ich etwas wie e^ax von IR nach IR ableite, dann würde ich da ja a*e^ax rausbekommen. Warum muss ich das x denn im IRⁿ trotzdem mit nach vorne nehmen?

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Du meinst :

IRⁿ nach IR

Weil ich einen Fehler gemacht habe,mal wieder, und du recht hast.

Das x fällt natürlich weg.

Gut aufgepasst.

Nobody is perfect.