Ungleichung auflösen. Für welche x gilt : (x-2)*(x-4) ≤ 6-3|x-2|?

Question

Und zwar habe ich folgende Ungleichung zu lösen .

Für welche x  Element R gilt :
$$(x-2)*(x-4) <= 6-3|x-2|$$

Wie gehe ich da ran? Der Betrag hindert mich daran, weiter umzuformen.

$$(x-2)*(x-4) <= 6-3*\sqrt{(x-2)^2}$$

So kann ich das ja auch darstellen , aber sehe nicht,ob mir das hilft.

Hat jemand Ansätze für mich?

Edit: Die linke Seite kann man auch ausmultiplizieren, kann aber trotzdem nichts mit anfangen.

Comments

Kann man nicht einfach eine Fallunterscheidung machen:

x = 2

x > 2

x < 2

Oder nicht? :)

Answer 1

Hi Marvin,

mache aus der Ungleichung zwei Ungleichungen, wobei Du sie einmal anschaust, wenn x ≥ 2 und x ≤ 2 ist. Dann ist eigentlich recht simpel ;).

P.S.: Latexbefehle: ≤ - \leq und ≥ - \geq

Grüße

Comments

Hatte bis jetzt nur eine Betrachtung versucht mit x größer gleich 0 und kleiner gleich 0.
Also:
$$|x-2|$$

Ist für x>=2:
$$|x-2| \geq 0$$

Und für x<=2

$$|x-2 |> 0$$

Inwiefern hilft mir das?

Und wie man kleiner gleich schreibt,ohne dass es direkt so fett wird,verstehe ich nicht so ganz.

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Für $x≥2$ schreibst du den Betrag einfach als $(x-2)$. Für $x<2$ als $(-x+2)$. Dann ist es kein Problem mehr :)

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Hmm?

1. Warum willst Du x ≥ 0 oder x ≤ 0 anschauen? Ist doch hier nix besonderes.

2.

|x-2| sei der zu betrachtende Term.

Für x ≥ 2 --> x-2

Für x ≤ 2 --> -(x-2)

Es wurde also der Betrag aufgelöst. Nun können wir damit relativ leicht weiterrechnen. Immer unter der Berücksichtigung bei welchem Fall wir gerade sind.

Zudem für Latex:

$$x \leq 2$$

--> $$x \leq 2$$

$x \leq 2$, jetzt kann ich auch in der selben Zeile schreiben.

--> \(x \leq 2\)

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Alles klar,  danke.  Ist mir im Auto grade auch aufgefallen.

Hatte mit der Unterscheidung  mit null versucht die betragsstriche aufzulösen.  Die allgemeine Vorgehensweise kenne ich ja. Stand nur irgendwie etwas auf dem Schlauch.

Answer 2

Ich gehe bei Gleichungen mit Betragsstrichen meist nach dem bekannten Schema alle Fallunterscheidungen durchzurechnen vor.

( x - 2 ) * ( x - 4 ) ≤  6 + 3 * ( x-2)

x² - 6x + 8 ≤  6 + 3x - 6

x² - 9x ≤ -8
x² - 9x + 4.5² ≤ -8 + 20.25
( x - 4.5 )² ≤ 12.25
-3.5  ≤ ( x - 4.5 )  ≤  3.5
 1 ≤ x ≤ 8
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
x < 2
ergibt sich
1 ≤ x ≤ 2

Fall 1 und Fall 2 zusammen

1 ≤ x ≤ 4