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Wie kann ich beweisen, dass die Wurzel aus einer natürlichen Zahl nur rational ist, wenn die Zahl eine Quadratzahl ist.

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Puh, ich kenne nur den folgenden Beweis (das wäre aber der Beweis, dass Dinge wie √2 irrational sind, man kann es aber wenn man will auf eine allgemeine Ebene bringen):


Die Wurzel aus 2 ist ja so definiert, dass man, wenn man sie quadriert, 2 erhält. Wenn die Wurzel aus 2 irrational wäre, so müsste diese Zahl sich logischerweise mit einem Bruch p/q darstellen lassen. Rationale Zahlen lassen sich nämlich IMMER als einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellen. Also nehmen wir mal an, dass die Wurzel aus 2 rational sei.


Nun nehmen wir an, dieser Bruch sei bereits vollständig gekürzt. Das heißt, p und q sind teilerfremd. Laut der Primfaktorzerlegung ist dann (p/q)² auch teilerfremd. Das heißt:


(p/q)² = 2


Nun quadrieren wir mal aus:

p²/q² = 2


Jetzt wird mit q² multipliziert:

p² = 2q²


Das heißt: p² hat die zwei als Teiler, somit logischerweise auch p:

p = 2a


Das setzen wir also für p ein:

(2a)² = 2q²

4a² = 2q²

2a² = q²

=> q hat als Teiler ebenfalls 2, da q² den Teiler 2 hat.

=> p und q haben den Teiler 2, aber p und q sollten doch teilerfremd sein!


Daraus folgt, dass die Annahme falsch sein muss, und Wurzel 2 irrational ist.


Ich hoffe, dass das etwa auf deine Frage hinaus läuft. Ich hab jetzt quasi das Gegenteil gezeigt, womit deine Aussage wahr ist - das nennt man auch Beweis durch Widerspruch.

Schau mal hier:





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Hier wird das erklärt

Was wird da erklärt? Was rationale Zahlen sind? ;)

Dass die Wurzel aus 2 irrational ist sowie ein paar Hinweise zu geraden/ungeraden Quadratzahlen.

Ich dachte, das könnte helfen.

lg Kai

Ach so das macht natürlich Sinn :)

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