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Aufgabe:

Aufgabe: Die Folge (an )n∈ℕ sei definiert durch
(an(x)):=nx−⌊nx⌋ für alle n∈ℕ

Man zeige: Ist x rational, so hat die Folge nur endlich viele Häufungspunkte


Problem/Ansatz:

man kann x= p/q wählen, mehr weiß ich leider nicht, ich habe es versucht, indem ich werte für p,q und n einsetzte habe aber nicht weiter gewusst wie man weiter machen sollte

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Beste Antwort

Sei rn der Rest bei der ganzzahligen Division von np durch q.

Dann ist

        n·p/q = ⌊n·p/q⌋ + rn/q,

also

        an(p/q) = ⌊n·p/q⌋ + rn/q - ⌊n·p/q⌋ = rn/q.

Dividert man n·p mit Rest durch q, dann können nur endlich viele Zahlen als Rest auftreten, nämlich 0, 1, ..., q-1. Die Wertemenge der Folge ist deshalb endlich. Also ist auch die Menge der Häufungspunkte endlich.

von 61 k 🚀

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