Konstruktion einer linearen Abbildung mit gegebenen Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren/Eigenräume

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Matrix $A \in \mathbb{C}^{3,3}$, von der folgendes bekannt sei:

$A\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -4 & -6 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right]$

a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von $A$ und die dazugehörigen Eigenräume.

b) Begründen Sie, dass $A$ diagonalisierbar ist und geben Sie eine invertierbare Matrix $S \in \mathbb{C}^{3,3}$ sowie eine Diagonalmatrix $D \in \mathbb{C}^{3,3}$ an, so dass gilt $A=S D S^{-1}$.

c) Berechnen Sie $e^{A}$.

Answer 1

Hi,
die Gleichung kann man schreiben als $$A\cdot B = C$$ mit $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =$  und
$C = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -6 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$
Die Matrix $B$ ist als obere Dreiecksmatrix mit ausschließlich $\ne 0$ Diagonalelementen invertierbar, denn die Determinate ist als Produkt der Diagonalelement $(-1)\cdot1\cdot (-1) = 1 \ne 0$
daraus ergibt sich $A = C \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 10 \\ 0 & -2 & -15 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
Die Eigenwerte von $A$ sind die Diagonalelemente der Matrix $A$ also $\lambda = \begin{pmatrix} -2\\ -2\\3 \end{pmatrix}$ Damit ergibt sich die Diagonalmatrix zu $D =S^{-1}\cdot A \cdot S = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
Die Eigenvektoren ergeben sich zu $S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Die Eigenvektoren sind linear unabhängig, da die Determinate $\ne 0$ ist. Die Matrix ist $S$ die gesuchte Matrix für die gilt $A = S \cdot D \cdot S^{-1}$

Die gesuchte Expotentialmatrix ergibt sich zu
$$e^A = S \cdot e^D \cdot S^{-1} = \begin{pmatrix} e^{-2} & 0 & 2e^3-2e^{-2} \\ 0 & e^{-2} & 3e^{-2}-3e^3 \\ 0 & 0 & e^3 \end{pmatrix}$$

Comments

vielen dank für die antwort=)

ich hätte da noch fragen, was sind die dazugehörigen eigenräume und wie bist du auf S gekommen?

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B^-1 =   -1   2   8

0   1    3

0    0   -1

dann hab ich es mit C multipliziert ich hab auch das gleiche raus, A ist auch bei mir

A= -2    0   10

0     -2    -15

0      0     3

=)